Enunciado

O Exercício fornece a aceleração a = d 2 s d t 2   , a velocidade inicial e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de uma reta coordenada. Determine a posição do corpo no instante t para o caso: a = - 4 s e n 2 t   ,   v 0 = 2   ,   s 0 = - 3 .

Passo 1

Queremos encontrar a função s ( t ) a partir da análise da função a ( t ) que, como o enunciado nos mostrou, é a sua segunda derivada. Assim, utilizaremos as regras de derivação no sentido inverso para encontrarmos, primeiramente a aceleração que é a primeira derivada e aplicando essa mesma estratégia uma segunda vez obtemos a função s ( t ) que é a solução do nosso problema.

Passo 2

Lembrando-se da regra da cadeia que nos diz que dada uma função composta f ( g ( t ) ) se quisermos deriva-la vamos precisar fazer → g ' t * f ' g t . Com isso, podemos pensar numa função que tenha derivada igual a v t = s ' t , essa função é exatamente 2 c o s ⁡ ( 2 t ) devido a aplicação da regra da cadeia.

Passo 3

Como consequência direta do teorema do valor médio temos um corolário que diz que se encontrarmos uma função g x tal que f ' x = g ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que f x = g x + C . Dessa forma, podemos fazer o seguinte:

v t = s ' ( t ) = g t + C

s ' t = 2 c o s ⁡ ( 2 t ) + C

Aplicando a condição inicial que diz que v 0 = 2 , temos:

s ' 0 = 2 c o s ⁡ ( 2 * 0 ) + C

2 = 2 * c o s ⁡ ( 0 ) + C

2 = 2 + C

C = 0

Assim, encontramos uma expressão para v ( t )   =   s ’ ( t )   =   2 c o s ⁡ ( 2 t ) . Utilizando mais uma vez esse raciocínio vamos encontrar, então, a nossa função desejada que é s t .

Passo 4

Como a nossa função v ( t ) tem a forma v   =   2 c o s ⁡ ( 2 t ) podemos pensar novamente na regra da cadeia que, dessa vez, é mais imediata haja vista que a derivada de s e n 2 t = 2 c o s ⁡ ( 2 t ) .

Passo 5

Sendo assim podemos pensar em uma função g t = s e n ( 2 t ) que possui derivada igual a da nossa função da velocidade e aplicarmos o resultado do corolário da seguinte forma:

s t = g t + C

s t = s e n 2 t + C

Utilizando nosso valor de posição inicial s 0 = - 3 temos:

s 0 = s e n 2 * 0 + C

- 3 = s e n 0 + C

C + 0 =   - 3

C =   - 3

Finalmente, nossa função s ( t ) para um determinado tempo t   qualquer é:

s t = s e n 2 t - 3

Resposta

s t = s e n 2 t - 3

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