Enunciado

Suponha que f seja derivável quando a ≤ x ≤ b e que f b ≤ f ( a ) . Demonstre que f ' é negativa em algum ponto entre a e b .

Passo 1

Sendo f derivável dentro do intervalo fechado [ a ,   b ] temos que a função satisfaz as condições do teorema do valor médio. Além disso, sendo a ≤ x ≤ b podemos inferir que b - a ≥ 0 e, ainda, temos que f b ≤ f a → f b - f a ≤ 0 .

Passo 2

Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

Sendo f b - f a ≤ 0 e o denominador b - a ≥ 0 podemos inferir que f ' c < 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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