Enunciado

Seja f uma função definida em R tal que para todo x ≠ 1 , - x 2 + 3 x ≤ f x < x 2 - 1 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de f ( x ) quando x tende a 1 , sabendo que para todo x ≠ 1 , temos - x 2 + 3 x ≤ f x < x 2 - 1 x - 1 .

Podemos dizer que g x = - x 2 + 3 x e h x = x 2 - 1 x - 1 , assim já temos uma função entre outras duas funções. Olha só:

- x 2 + 3 x ≤ f x ≤ x 2 - 1 x - 1

⇒ g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x )

E isso nos lembra uma das condições do Teorema do Confronto, certo? E esse teorema nos diz que, quando essa condição é atendida, e o limite das extremidades são iguais, então o limite da função que tá no meio também é igual.

Então, o que nós vamos fazer é calcular os limites de g x = - x 2 + 3 x e h x = x 2 - 1 x - 1 , verificar se eles são iguais e teremos o limite de f ( x ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular o primeiro limite, ele é simples, é só aplicar o valor:

lim x → 1 ⁡ - x 2 + 3 x

= - 1 2 + 3 ∙ 1

= - 1 + 3 = 2

Agora resolvendo vamos calcular o limite de h ( x ) :

lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor 1 na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 3

No numerador temos um polinômio do segundo grau, da seguinte forma x 2 - 1 , então podemos usar a seguinte fórmula e achar o valor de a e b :

a 2 - b 2 = a + b a - b

De cara sabemos que a = x e b = 1 , assim vamos ficar com:

a 2 - b 2 = a + b a - b → x 2 - 1 = x + 1 x - 1

Vamos ter então o limite:

lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 1 x - 1 x - 1

Simplificando, temos:

= lim x → 1 ⁡ x + 1

Pronto, agora é só aplicar o valor:

lim x → 1 ⁡ x + 1

= 1 + 1 = 2

Passo 4

Então, descobrimos que ambos os limites são iguais a 2 :

lim x → 1 ⁡ - x 2 + 3 x = lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = 2

E pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 2

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Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite. lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x
Dado: - sin ⁡ x ≤ f x ≤ 2 + sin ⁡ x para todo x no intervalo aberto -π ,0 . Ache lim x → - π 2 ⁡ f x .
Dado: 1 - cos 2 ⁡ x ≤ f x ≤ x 2 para todo x no intervalo aberto - 1 2 π ,1 2 π . Ache lim x → 0 ⁡ f x .
Prove que a função secante é contínua em seu domínio.
Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite. lim x → - 2 ⁡ g x ,s eg x - 3 5 x + 2 2 para todo x .