Enunciado

Se g (x) = sqrt(f ( x )) , onde o gráfico de f é mostrado, avalie g ' ( 3 ) .

Passo 1

Bom, antes de tudo vamos derivar a função g, já que nosso resultado depende dela. Como f esta “dentro” de g, usamos a Regra da Cadeia.

Vamos chamar:

u = f ( x )

E:

g (u) = sqrt(u) = u^((1)/(2))

Então:

(d g ( x ))/(d x) = (d g ( x ))/(d u) . (d u)/(d x)

Vamos começar derivando g ( x ) em função de u:

(d g ( x ))/(d u) = (1)/(2) u^(- (1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(u))

Agora, u em relação a x:

(d u)/(d x) = f ' ( x )

Sendo assim:

(d g ( x ))/(d x) = f ' ( x ) xx (1)/(2 sqrt(u))

Substituindo u:

g^' ( x ) = (f ' ( x ))/(2 sqrt(f ( x )))

Passo 2

Legal, já achamos a derivada para todos os valores de x, mas nós queremos a derivada quando x = 3 :

g^' ( 3 ) = (f ' ( 3 ))/(2 sqrt(f ( 3 )))

Pelo gráfico podemos obter que:

f (3) = 2

Agora nós precisamos de achar f^' (3) . Aqui é muito importante lembrarmos que a derivada da função em um determinado ponto fornece a inclinação da reta tangente.

Então ficou fácil! Se sabemos que:

m_t g = f ' ( 3 )

Para descobrir a inclinação da reta tangente basta usarmos a equação da reta:

y - y_p = m_t g ( x - x_p )

Reorganizando:

m_t g = (Delta y)/(Delta x)

Pelo gráfico sabemos que:

Delta y = 4 - 0 = 4

Delta x = 0 - 6 = - 6

Então:

m_t g = (4)/(- 6) = - (2)/(3)

Se sabemos a inclinação:

f^' (3) = - (2)/(3)

Passo 3

Agora é só substituir e pronto!

g^' (3) = (- (2)/(3))/(2 sqrt(2)) = - (1)/(3 sqrt(2))

Resposta

g^' (3) = - (1)/(3 sqrt(2))

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