Enunciado

Seja f uma função positiva, contínua, decrescente e côncava para baixo no intervalo   [ a ,   b ] . Suponha que o intervalo [ a ,   b ] esteja subdividido em n subintervalos de mesmo comprimento. Arranje as aproximações de ∫ a b f ( x ) d x a seguir em ordem decrescente de valores: pela extremidade esquerda, pela extremidade direita, pelo ponto médio e trapezoidal.

Passo 1

Precisamos colocar em ordem essas aproximações. Primeiro, podemos lembrar que o Teorema 7.7.1, diz que se uma função é côncava para baixo, temos essa relação:

T n < ∫ a b f ( x ) d x < M n

Ou seja, a aproximação trapezoidal dá um valor menor que a aproximação pelo ponto médio.

Passo 2

Agora a gente lembra que:

T n = L n + R n 2

O resultado da aproximação trapezoidal é a média entre a aproximação pela extremidade direita ( R n ) e pela extremidade esquerda L n .

Isso diz para gente que T n é um valor entre L n e R n . Mas quem desses dois é o maior?

Temos que lembrar que na seção 5.4, vimos que, na figura 5.4.9, para uma função descrescente, a aproximação pela esquerda superestima a integral e pela direita, subestima a integral.

Com isso a gente descobre que:

L n > R n

E:

T n = L n + R n 2 ∴ L n > T n > R n

Passo 3

Temos que pensar em mais um detalhe. Vimos que tanto a aproximação pelo ponto médio quanto a aproximação pela extremidade esquerda superestimam a integral. Qual vai dar o maior valor?

A gente tem que lembrar que a aproximação pelo ponto médio é mair precisa que a aproximação pelos extremos. Isso diz para gente que M n vai estar mais próxima do valor da integral, logo, vai ser menor.

Com toda essa reflexão, nossa ordem descrescente de resultados fica assim:

L n > M n > T n > R n

Resposta

Extremidade esquerda, ponto médio, trapezoidal, extremidade direita

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