Enunciado

Seja f ( x )   =   p x 2   +   q x   + r uma função quadrática definida em um intervalo fechado [ a ,   b ] . Mostre que existe exatamente um ponto c em ( a ,   b ) no qual f   satisfaz a conclusão do teorema do valor médio.

Passo 1

Queremos mostrar que existe exatamente um único ponto c que satisfaz a conclusão do teorema do valor que nos diz que uma função contínua, como é o caso da nossa função quadrática, em um intervalo fechado existe pelo menos um ponto c tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

Passo 2

Como sabemos que nossa função polinomial do segundo grau é contínua dentro dos reais podemos aplicar o teorema do valor médio. Assim,

f b - f a b - a = f ' ( c )

Mas devemos que f ' ( c ) pode ser escrito como

f ' c = 2 p c + q

Igualando essa equação a 0, vamos obter um valor que pode ser escrito como uma fração tal qual se apresenta no teorema e que esse valor é único. Dessa forma,

2 p c + q = 0 2 p c = - q

c =   - q 2 p  

Como   p ≠ 0 pelo fato da função ser do segundo grau temos que esse valor de c existe e é como só encontramos um ele é , também, único.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha quef eg sejam deriváveis em [ a ,b ] e que f ( a )=g ( a )ef ( b )=g ( b ) . Demonstre que há pelo menos um ponto entre a e b onde as tangentes às curvas de f e g são paralelas ou são a mesma
Se os gráficos de duas funções deriváveis f ( x ) e g ( x ) começam no mesmo ponto do plano cartesiano e as funções apresentam a mesma taxa de variação em todos os pontos, os gráficos serão necessaria
Construa um polinômio f ( x ) que tenha raízes em x=- 2 ,- 1 ,0 ,1e2 . Esboce o gráfico de f e de sua derivada f ' juntos. Como o que você vê está relacionado com o teorema de Rolle? A função g ( x )=
Suponha que f' ( x )≤ 1 para 1 ≤ x ≤ 4 . Mostre que f 4 -f 1 ≤ 3 .
Assim como fizemos para provar as regras do produto e da potenciação para logaritmos, use o argumento da mesma derivada para provar a regra do quociente.