Enunciado

Se os gráficos de duas funções deriváveis f ( x ) e g ( x ) começam no mesmo ponto do plano cartesiano e as funções apresentam a mesma taxa de variação em todos os pontos, os gráficos serão necessariamente idênticos? Justifique sua resposta.

Passo 1

Considerando que as funções comecem em um mesmo ponto x = a e suas derivadas são iguais em todos os pontos, queremos mostrar se essas funções, necessariamente, serão iguais ou não. Para isso utilizaremos o corolário que vem como consequência direta do teorema do valor médio.

Passo 2

Esse corolário nos diz que se encontrarmos uma função g x tal que f ' x = g ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que f x = g x + C . Dessa forma, podemos fazer o seguinte

f x = g x + C  

Tomando o ponto inicial x = a que pertence a ambas funções nós teremos f a = g a   ( i ) . Assim,

f a = g a + C

C = f a - g ( a )

Substituindo ( i ) na equação acima vamos obter

C = f a - g a

C = 0

∴ f x = g x ,   n e c e s s a r i a m e n t e .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = - 1 x 2 .
O que pode ser dito sobre funções cujas derivadas são constantes? Justifique sua resposta.
Suponha que f ( 0 )=5 e que f ' ( x )=2 para todo x . Obrigatoriamente, f ( x )=2 x+5 para todox ? Justifique sua resposta.
Mostre que função g t =1 1 - t +1 + t - 3,1 , tem exatamente uma raíz no interior do intervalo (-1,1).
Suponha que f ' x = 2 x para todo x. Determine f ( 2 ) se f 0 = 0 .