Enunciado

Suponha que   f e   g sejam deriváveis em [ a ,   b ]   e que f ( a )   =   g ( a )   e   f ( b )   =   g ( b ) . Demonstre que há pelo menos um ponto entre a e b onde as tangentes às curvas de f e g   são paralelas ou são a mesma reta. Ilustre sua resposta com um gráfico.

Passo 1

Devemos mostrar que as retas tangentes a curva em pelo menos um ponto (pode ser um ou mais) são paralelas ou são a mesma. Primeiramente, devemos lembrar que geometricamente a derivada pode ser interpretada como sendo a inclinação da reta tangente. Assim, podemos tomar uma função k x = f x - g x ,   onde k ( x ) é continua e diferenciável dentro do intervalo [ a ,   b ] .

Passo 2

Calculando o valor da nossa função para o ponto a temos

k a = f a - g ( a )

Como f a = g a teremos o seguinte

k a = f a - f ( a )

k a = 0

Raciocínio similar pode ser aplicado para a função k ( x ) aplicada em b.

Passo 3

Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

Aplicando esse teorema para a nossa função k ( x ) teremos

k b - k a b - a = k ' ( c )

0 - 0 b - a = k ' ( c )

k ' c = 0   ( i )

Devemos lembrar que a derivada da soma/subtração é a soma/subtração das derivadas. Dessa forma,

k ' x = f ' x - g ' ( x )

k ' c = f ' c - g ' c   ( i i )

Podemos substituir a equação i   e m   ( i i ) e obtemos

f ' c - g ' c = 0

f ' c = g ' c

O que implica que em algum ponto dentro desse intervalo temos as inclinações das retas tangentes de ambas as funções é igual o que implica retas tangentes paralelas ou iguais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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