Enunciado

Seja f uma função tal que f ' ' ' x > 0 para todo x em a , b . Suponha que existe c em a , b tal que f ' ' c = f ' c = 0 . Prove que f é estritamente crescente em a , b .

Passo 1

Vamos lá, vamos pegar a hipótese que f ' ' ' x é estritamente crescente em a , b .

Como f ' ' c = 0 e f ' ' ' x > 0 no nosso intervalo, temos que f ' ' ( x ) é uma função crescente nesse intervalo.

Como f ' ' c = 0 então para valores de x < c f ' ' é negativa e para valores x > c f ' ' é positiva, ou seja:

f ' ' x < 0 em a , c e f ' ' x > 0 em c , b

Logo, f ' x é estritamente decrescente em a , c e estritamente crescente em c , b .

Passo 2

E sabendo que f ' c = 0 , temos também que:

f ' x > 0 em a , c e em c , b

Já que para x < c , f ' decresce até 0 e para x > c f ' cresce a partir de 0 .

Isso significa que em todo o nosso intervalo f ' x ≥ 0 ( = 0 para x = c ), o que faz com que a função f nunca decresça!

Assim, como f x é contínua, f x será estritamente crescente em a , c e em c , b , assim também será estritamente crescente em a , b .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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