Prove que, para todo x > 0 , tem-se

  1. e^x > x + 1
  2. e^x > 1 + x + (x^2 / 2)

Passo 1

  1. Vamos considerar a expressão f x = e x - x - 1
  2. Temos que:

    f 0 = e 0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0

    Vamos calcular f ' x :

    f ' x = e x - x - 1 ' = e x - 1 - 0 = e x - 1

    Agora vamos analisar o sinal de f ' x :

    f ' x > 0 para x > 0 , assim f x é estritamente crescente em 0 , + ∞ .

    Assim temos que:

    f x > 0 → e x - x - 1 > 0 → e x > x + 1

    Passo 2

  3. Vamos considerar a expressão g x = e x - 1 + x + x 2 2 .

Temos que:

g 0 = e 0 - 1 + 0 + 0 2 2 = 1 - 1 = 0

Vamos calcular g x :

g ' x = e x - 1 + x + x 2 2 ' = e x - 0 + 1 + 2 x 2 = e x - 1 - x

Agora vamos analisar o sinal de g ' x :

g ' x > 0 para x > 0 , assim g x é estritamente crescente em 0 , + ∞ .

Assim temos que:

g x > 0 → e x - 1 + x + x 2 2 > 0 → e x > 1 + x + x 2 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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