Enunciado

Seja f 0 = 0 e f x = 1 x se 0 < x ≤ 1 . Mostre que f não é integrável em 0,1 . [Sugestão: mostre que o primeiro termo na soma de Riemann, f x i * Δ x , pode ser tornado arbitrariamente grande.]

Passo 1

Para dizermos que f é integrável em 0,1 ou seja, existe ∫ 0 1 f x d x , se existir o limite da soma de R i e m a n n que é dado por:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Passo 2

Como

∑ i = 1 n f 1 n 1 n   = 1 n   ∑ i = 1 n f i n   = 1 n ∑ i = 1 n n i = ∑ i = 1 n 1 i = 1 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n

Como n vai para o infinito, temos uma soma de infinitos termos maiores que zero, que não converge para nenhum valor definido, ou seja, a integral não existe e por tanto, f não é integrável em 0,1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que f e g sejam integráveis e que ∫ 1 9 f x d x = - 1 ∫ 7 9 f x d x = 5 ∫ 7 9 h x d x = 4 Use as regras na Tabela 5.4 para determinar ∫ 1 9 - 2 f x d x ∫ 7 9 f x + h x d x ∫ 7 9 2 f x - 3 h x
Suponha que f e g sejam integráveis e que ∫ 1 9 f x d x = - 1 ∫ 7 9 f x d x = 5 ∫ 7 9 h x d x = 4 Use as regras na Tabela 5.4 para determinar ∫ 1 9 - 2 f x d x ∫ 7 9 f x + h x d x ∫ 7 9 2 f x - 3 h x
Suponha que f e g sejam integráveis e que ∫ 1 9 f x d x = - 1 ∫ 7 9 f x d x = 5 ∫ 7 9 h x d x = 4 Use as regras na Tabela 5.4 para determinar ∫ 1 9 - 2 f x d x ∫ 7 9 f x + h x d x ∫ 7 9 2 f x - 3 h x
Suponha que h seja integrável e que ∫ - 1 1 h rd r = 0 e ∫ - 1 3 h rd r = 6 . Calcule: ∫ 1 3 h rd r - ∫ 3 1 h ud u
Expresse o limite como integral definida. lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n 4 - c k 2 Δ x k Onde P é uma partição de [ 0,1 ]