Enunciado

Nos problemas de 5 a 16:

a) Determine todos os pontos críticos do sistema de equações dado.

b) Encontre o sistema linear correspondente perto de cada ponto crítico.

c) Encontre os autovalores de cada sistema linear. O que você pode concluir sobre o sistema não-linear?

d) Desenhe um retado de fase do sistema não-linear para confirmar suas conclusões, ou para estendê-las nos casos em que o sistema linear não fornece informações definidas sobre o sistema não-linear.

14. d x d t = 1 - x y , d y d t = x - y 3

Passo 1

Os pontos críticos nos são dados pela solução das equações

1 - x y = 0

x - y 3 = 0

Depois de multiplicar a segunda equação por y, temos que y = ± 1 . Logo os pontos críticos do sistema se encontram em 1,1   e   - 1 ,   - 1 .

Passo 2

Note que F x , y = 1 - x y   e G x , y = x - y 3 . A matriz Jacobiana do campo de vetories é

J = - y - x 1 - 3 y 2

Aplicando o ponto crítico ( 1,1 ) temos

J 1,1 = - 1 - 1 1 - 3

Os autovalores r 1 = - 2 e r 2 = - 2 . Os autovalores são reais e iguais. Isso é relativamente simples de se mostrar já que há apenas um autovetor linearmente independente. O teorema 9.3.2 não propões uma conclusão apesar da relação entre a natureza do ponto crítico do sistemana não-linear e a linearização correspondente.

Passo 3

No ponto (-1, -1) a matriz do sistema linear é dado por

J - 1 ,   - 1 = 1 1 1 - 3

Os autovalores r 1 = - 1 + 5 e r 2 = - 1 - 5 . Os autovalores são reais de sinais opostos. Logo o ponto crítico do sistema linear associado é uma sela, que é instável.

Passo 4

d)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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