Enunciado

Seja f x = x - 3 - 2 . Mostre que não existe um valor de c em ( 1,4 ) tal que f 4 - f 1 = f ' ( c ) ( 4 - 1 ) . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte função:

f x = x - 3 - 2

A questão quer que mostremos que não existe um valor de c em ( 1,4 ) tal que

f 4 - f 1 = f ' ( c ) ( 4 - 1 )

Ainda, o enunciado nos pergunta o porquê disso não contradizer o Teorema do Valor Médio.

Para resolver esse problema, devemos derivar a função e aplicar os pontos x = 1 e x = 4 nessa derivada para verificar a igualdade.

Bora lá?? 😉

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos:

f ' x = d d u u - 2 * d d x x - 3 ∴

f ' x = - 2 x - 3 3  

Portanto, para x = c , podemos dizer:

f ' c = - 2 c - 3 3

Passo 3

Verificando o que o enunciado nos deu:

f 4 - f 1 = f ' c 4 - 1 ∴

1 1 2 - 1 - 2 2 = - 2 c - 3 3 * 3 ∴

3 4 = - 6 c - 3 3 ∴

c - 3 3 = - 8 ∴

c - 3 = - 2 ∴

c = 1 , que não está no intervalo aberto 1,4 .

Isso não contradiz o Teorema do Valor Médio porque f não é contínua em x = 3 (se você fizer essa igualdade, haverá uma indeterminação do tipo divisão por zero).

Resposta

Demonstração

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Sejaf x = 1 - x 2 3 . Mostre que f - 1 = f ( 1 ) , mas não existe um número c em ( - 1 ,1 ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Em cada parte, determine se todas as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão verificadas no intervalo dado. Caso não estejam, indique quais hipóteses estão falhando; se estiverem, encontre todos os
Em cada parte, determine se todas as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão verificadas no intervalo dado. Caso não estejam, indique quais hipóteses estão falhando; se estiverem, encontre todos os
Em cada parte, determine se todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão verificadas no intervalo dado. Caso não estiverem, indique qual é a hipótese que está falhando; se estiverem, encontre todos os