Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Esboce a região e uma casca típica.

y = x 2 ,   y = 2 - x ² ; em torno de x = 1

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma?!

O enunciado nos pede pra usarmos o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas:

y = x 2 ,   y = 2 - x ² ; em torno de x = 1

A formula para o volume do sólido de rotação em relação ao eixo y   tem essa carinha aqui:

V = ∫ a b 2 π x f x   d x  

Onde:

2 π x = c i r c u n f e r ê n c i a

f x = a l t u r a

d x = e s p e s s u r a

Podemos então esboçar a região e uma casca típica:

Passo 2

O círculo tem 1 - x , e a circunferência tem perímetro 2 π ( 1 - x ) , e altura 2 - x 2 - x 2 = 2 - 2 x ² . Com isso, temos o seguinte volume:

V = ∫ - 1 1 2 π 1 - x ( 2 - 2 x 2 )   d x = 2 π ( 2 ) ∫ - 1 1 1 - x ( 1 - x 2 ) d x

V = 4 π ∫ - 1 1 1 - x - x 2 + x ³ d x = 4 π ( 2 ) ∫ 0 1 ( 1 - x 2 ) d x

Usando o Teorema 5.5.7:

V = 8 π x - 1 3 x 3 0 1 = 8 π 1 - 1 3 - 0 = 8 π 2 3 = 16 3 π

Resposta

V = 16 3 π

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Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado girando a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . x + y = 4 , x = y 2 - 4 y + 4
Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado girando a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . y = 4 - 2 x , y = 0 , x = 0 ; s o b r ex = - 1
Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado girando a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . x = 2 y 2 , y ≥ 0 , x = 2 , s o b r ex = 2
Use o método de cascas cilíndricas para induzir o volume gerado girando a região delimitada pelas curvas dadas sobre o eixo especificado. y = x 3 , y = 8 , x = 0 ; s o b r ex = 3
Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado girando a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . x = 2 y 2 , x = y 2 + 1 , s o b r ey = - 2