Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 9
Seja. Mostre que , mas não existe um número em tal que . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Passo 1
Opa! Vamos ver o que o enunciado quer da gente agora! Temos:
E queremos mostrar que , mas não existe um número em tal que . Depois precisamos mostrar por que isso não contradiz o Teorema de Rolle.
Bora lá?!
Passo 2
Agora vamos ao Teorema de Rolle ele diz que:
“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:
- é contínua no intervalo fechado de
- é diferenciável no intervalo aberto de );
Então há um númerono intervalo aberto onde ”
Primeiro vamos mostrar que . Dessa forma:
Logo, .
Passo 3
Agora, derivamos para provar a segunda parte:
Tentando igualar a função a zero:
Não temos como zerar o numerador e não podemos zerar o denominador, já que isso nos daria uma indeterminação. Logo, realmente não possui solução.
Passo 4
O nosso intervalo aqui é , mas a nossa função não satisfaz as condições! Uma vez que não existe, e também porque não é derivável em . Dessa forma não existe uma contradição no Teorema de Rolle.
Resposta
Desenvolvimento acima.