Enunciado

Em cada parte, determine se todas as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão verificadas no intervalo dado. Caso não estejam, indique quais hipóteses estão falhando; se estiverem, encontre todos os valores de c garantidos na conclusão do teorema.

(c) f x = 3 - x 2   s e   x ≤ 1 2 x   s e   x > 1   em [ 0 , 2 ]

Passo 1

As hipóteses do Teorema do Valor Médio são:

- f contínua no intervalo [ a , b ]

- f   diferenciável em ( a , b )

Se elas forem atendidas, a gente diz que há pelo menos um c , tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Vamos avaliar a função e o intervalo que ele deu com base nessas informações aí. Vem comigo!

Passo 2

A primeira coisa é ver se a função é contínua no intervalo. Essa função é definida como:

f x = 3 - x 2   s e   x ≤ 1 2 x   s e   x > 1

Precisamos testar a continuidade no ponto x = 1 :

lim x → 1 - ⁡ 3 - x 2 = 2

lim x → 1 + ⁡ 2 x = 2

f 1 = 3 - 1 2 = 2

Como todos esses valores são iguais, a nossa função é contínua no intervalo [ 0,1 ] .

Passo 3

Precisamos verificar a continuidade da derivada dessa função em x = 1 para saber se ela é diferenciável no intervalo. Como f x = 3 - x 2 ,   x ≤ 1 :

lim x → 1 - ⁡ f ' x = lim x → 1 - ⁡ - 2 x = - 2

Já para x > 1 , f x = 2 / x :

lim x → 1 + ⁡ f ' x = lim x → 1 + - 2 x 2 ⁡ = - 2

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ f 1 + h - f 1 h = lim h → 0 ⁡ 2 1 + h - 2 h

lim h → 0 ⁡ 2 - 2 ( 1 + h ) h ( 1 + h ) = l i m h → 0 - 2 h h ( 1 + h ) = - 2

Como todos esses valores deram iguais, nossa função tem a derivada contínua e é diferenciável no intervalo ( 0,2 ) .

Passo 4

Com as hipóteses atendidas, vamos descobrir c para [ 0 , 2 ] :

f ' c = f b - f a b - a

f ' c = f 2 - f 0 2 - 0 = 1 - 3 2 = - 1

Mas lembra que nossa função está definidad por partes. Para c ∈ [ 0,1 ] :

- 2 c = - 1 ∴ c = 1 2

Para c ∈ ( 1,2 ] :

- 2 c 2 = - 1 ∴ c = 2

Repara que a gente não disse c = - 2 , porque não estaria dentro do no nosso intervalo.

Resposta

c = 1 2 ,   c = 2

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