Enunciado

(a) Mostre que a função

f x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

É uma solução da equação diferencial

f ' x = f x

(b) Mostre que f x = e x .

Passo 1

(a) Inicialmente devemos calcular a derivada de f ( x ) . Isso deve ser feito derivando termo a termo a sua série correspondente.

f ' x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ' = ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 ( n - 1 ) !

Analisando o resultado obtido, observamos que podemos trocar n - 1 por n , tomando n = 0 como índice do somatório, sem que isso altere os termos da série derivada. Dessa forma temos:

f ' x = ∑ n = 1 ∞ n x n - 1 ( n - 1 ) ! = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = f ( x )

Portanto, está mostrado que a função f ( x ) é uma solução da equação diferencial dada.

Passo 2

(b) Pelo Teorema 9.4.2, sabemos que a única solução da equação diferencial f ' x = f x é f x = K e x . Além disso, através do termo geral da série que representa f ( x ) , constata-se que f 0 = 1 . Portanto, temos

f 0 = K e 0 = 1 → K = 1

Logo,

f x = e x

OBS: uma outra maneira de chegar a esse resultado é resolver a equação f ' x = f x como uma equação diferencial separável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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