Enunciado

Seja r (x) = f ( g (h (x)) ) , onde h (1) = 2 , g (2) = 3 , h^' (1) = 4 , g^' (2) = 5 e f^' (3) = 6 . Encontre r ' ( 1 ) .

Passo 1

Bom, antes de tudo vamos derivar a função r, já que nosso resultado depende dela. Como temos uma derivada dentro da outra usamos a Regra da Cadeia.

Para isso vamos chamar:

u = h ( x )

Então:

r (x) = f ( g (u) )

Agora se fizermos:

t = g (u)

Então:

r (x) = f ( t )

Sendo assim, nossa derivada ficará assim:

(d r)/(d x) = (d r)/(d t) . (d t)/(d u) . (d u)/(d x)

Vamos derivar:

(d r)/(d t) = f ' ( t )

(d t)/(d u) = g ' ( u )

(d u)/(d x) = h ' ( x )

Substituímos:

(d r)/(d x) = f^' (t) . g^' (u) . h ' ( x )

Jogando os valores de t e u:

r ' ( x ) = f^' (g (h ( x ))) . g^' (h ( x )) . h ' ( x )

Passo 2

Queremos saber r ' ( 1 ) , então vamos substituir x por 1:

r ' ( 1 ) = f^' (g (h ( 1 ))) . g^' (h ( 1 )) . h ' ( 1 )

Primeiro vamos lembrar que:

h (1) = 2

h^' (1) = 4

Então:

r ' ( 1 ) = f^' (g (2 ))) . g^' (2) . 4

Agora precisamos lembrar que:

g (2) = 3

g^' (2) = 5

Sendo assim:

r ' ( 1 ) = f^' (3) . 5.4

Para finalizar:

f^' (3) = 6

Concluindo:

r^' (1) = 6.5 . 4 = 120

Resposta

r^' (1) = 120

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