Encontre a derivada da função

20) F(t) = (3t - 1)^4 \* (2t + 1)^(-3)

Passo 1

Olá, Yuri aqui e estarei lhe ajudando a resolver essa atividade meu nobre amigo.

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra e uma multiplicação entre elas. E o que fazemos quando isso acontece?

Primeira coisa, usar a Regra do Produto. Utilizamos a regra do produto em caso que precisamos derivar um produto de funções. Matematicamente temos:

𝑑 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 𝑑 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑 𝑔 𝑥 𝑑 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑 𝑓 𝑥 𝑑 𝑥

Já a regra da cadeia utilizamos quando precisamos derivar e temos uma função dentro da outra, uma função composta.

Passo 2

Para começar nossa resolução, iremos chamar:

f t = 3 t - 1 4

g t = 2 t + 1 - 3

Vamos precisar da derivada para f e g, certo? E agora sim precisaremos da Regra da Cadeia. Para derivar f t em relação a t, podemos fazer:

d f ( t ) d t = d f ( t ) d u . d u d t

Então vamos chamar:

u = 3 t - 1

E:

f u = u 4

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por d u d t . Então vamos derivar u com relação à t:

d u d t = 3

Agora vamos derivar f(t) em função de u para achar d f ( t ) d u :

d f ( t ) d u = 4 u 3

Agora vamos colocar na derivada d f ( t ) d t :

d f ( t ) d t = 3 ( 4 u 3 )

Substituindo u:

d f ( t ) d t = 12 3 t - 1 3

Passo 3

Para derivar g t em relação a t, podemos fazer:

d g ( t ) d t = d g ( t ) d u . d u d t

Então vamos chamar:

u = 2 t + 1

E:

g u = u - 3

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por d u d t . Então vamos derivar u com relação a t:

d u d t = 2

Agora vamos derivar g(t) em função de u para achar d g ( t ) d u :

d g ( t ) d u = - 3 u - 4

Agora vamos colocar na derivada d g ( t ) d t :

d g ( t ) d t = - 3 u - 4 ( 2 )

Substituindo u:

d g ( t ) d t = - 6 2 t + 1 - 4

Passo 4

Agora podemos achar a derivada de 𝑦   usando a Regra do Produto, certo? Lembre-se da regra do produto:

𝑑 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 𝑑 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑 𝑔 𝑥 𝑑 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑 𝑓 𝑥 𝑑 𝑥

F ' t = - 6 3 t - 1 4 2 t + 1 - 4 + 12 2 t + 1 - 3 3 t - 1 3

Então:

F ' t = - 6 3 t - 1 4 2 t + 1 4 + 12 3 t - 1 3 2 t + 1 3

Isolando 6 3 t - 1 3 2 t + 1 3   :

F ' t = 6 3 t - 1 3 2 t + 1 3 2 - 3 t - 1 2 t + 1

Abrindo a equação:

F ' t = 6 3 t - 1 3 2 t + 1 3 t + 3 2 t + 1

Resposta

F ' t = 6 3 t - 1 3 2 t + 1 3 t + 3 2 t + 1

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