Enunciado

7 – 46 Encontre a derivada da função.

23. y = e tg ⁡ θ

Passo 1

Oieee, vamooos?

O enunciado pede para encontrar a derivada da função y = e tg ⁡ θ .

Essa função envolve uma exponencial de uma função trigonométrica, a tangente de θ .

Para resolver esse problema, utilizaremos a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental do cálculo diferencial para encontrar a derivada de uma função composta.

A regra da cadeia estabelece que, se temos uma função composta de duas funções, f g x , a derivada dessa função composta é o produto da derivada da função externa pela derivada da função interna. No nosso caso, a função externa é a exponencial e a função interna é a tangente de θ .

Portanto, vamos calcular a derivada da função composta y = e tg ⁡ θ ,   utilizando a regra da cadeia.

Primeiro, derivamos a função externa e x , que é simplesmente e x , e depois derivamos a função interna tan ⁡ ( θ ) , que é sec 2 ⁡ ( θ ) .

Então, multiplicamos essas duas derivadas para obter a derivada da função composta.

Passo 2

Aplicando a derivada na função, temos:

y ' = d d θ e tg ⁡ θ

Essa é uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia para conseguir resolver, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F θ = f g θ

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' θ = f ' g θ ⋅ g ' θ

Passo 3

Nesse caso, temos que a função de fora, a externa, é a exponencial:

f g θ = e g θ

e sua derivada é:

f ' g θ = e g θ

Já a função de dentro, a interna, é

g θ = tg ⁡ θ

que derivando fica:

g ' θ = sec 2 ⁡ θ

Então a derivada da função fica:

y ' = e g θ ⋅ sec 2 ⁡ θ

Como g θ = tg ⁡ θ :

y ' = e tg ⁡ θ ⋅ sec 2 ⁡ θ

Resposta

y ' = e tg ⁡ θ ⋅ sec 2 ⁡ θ

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