Enunciado

Seja

g x = ∫ 0 x f t d t

Onde f é a função cujo gráfico está mostrado.

  1. Em que valores de x ocorrem os valores de máximos e mínimos locais em g ?
  2. Onde g atinge seu valor máximo absoluto?
  3. Em que intervalos g é côncavo para baixo?
  4. Esboce o gráfico de g .

Passo 1

  1. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que
  2. g ' x = f ( x )

    Temos um ponto de máximo ou mínimo quando g ' x = 0 . Pelo gráfico de f podemos ver os pontos em que g ' x = 0 são os pontos x = 1 ,   3 ,   5 ,   7   e   9 . Agora a gente precisa analisar o que está acontecendo com a derivada, se ela está indo de um valor positivo para um valor negativo, então temos um ponto de máximo, agora, se ela está indo de um valor negativo para um valor positivo, temos um ponto de mínimo. Analisando o gráfico, podemos ver que

    1. Os pontos de máximo são : x = 1   e   x = 5
    2. Os pontos de mínimo são : x = 3   e   x = 7

    Note que o ponto x = 9 não é um ponto de máximo e nem de mínimo local pois a função não está definida para x > 9

    Passo 2

  3. Pelo gráfico que
  4. ∫ 0 1 f t d t < ∫ 1 3 f t d t < ∫ 3 5 f t d t < ∫ 5 7 f t d t < ∫ 7 9 f t d t

    Sabemos que

    g 1 = ∫ 0 1 f t d t

    g 5 = ∫ 0 5 f t d t = g 1 - ∫ 1 3 f t d t + ∫ 3 5 f t d t

    E

    g 9 = ∫ 0 9 f t d t = g 5 - ∫ 5 7 f t d t + ∫ 7 9 f t d t

    Então, temos que g 1 < g 5 < g ( 9 ) .

    Então o máximo absoluto ocorre em x = 9 .

    Passo 3

  5. Temos que g é côncava para baixo quando g ' ' x < 0 . Tendo o gráfico de g ' , podemos ver o sinal de g ' ' x , daí, temos os seguintes intervalos
  6. 1 2 , 2 ,   4,6   e   8,9

    Passo 4

  7. Esboçando o gráfico ficamos com

Resposta

  1. Os pontos de máximo são : x = 1   e   x = 5
  2. Os pontos de mínimo são : x = 3   e   x = 7

  3. x = 9
  4. 1 / 2 , 2 ,   4,6   e   8,9
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Para cada uma das seguintes funções, faça o gráfico f ( x ) sobre [ a , b ] e f ( x + c ) sobre [ a - c , b - c ] para se convencer de que a Equação I é razoável. f x = x - 4 , a = 4 ,b = 8 e c = 5
Demonstre que se f for ímpar, ∫ - a a f x d x = 0
Para cada uma das seguintes funções, faça o gráfico f ( x ) sobre [ a , b ] e f ( x + c ) sobre [ a - c , b - c ] para se convencer de que a Equação I é razoável. f x = s e n x , a = 0 ,b = π e c = π
Usando substituição, prove que ,para quaisquer números positivosx e y ∫ x x y 1 t d t =∫ 1 y 1 t d t
Para cada uma das seguintes funções, faça o gráfico f ( x ) sobre [ a , b ] e f ( x + c ) sobre [ a - c , b - c ] para se convencer de que a Equação I é razoável. f x = x 2 , a = 0 ,b = 1 e c = 1 .