Enunciado

Usando substituição, prove que ,para quaisquer números positivos   x e y

∫ x x y 1 t d t =   ∫ 1 y 1 t d t

Passo 1

Temos que ser espertos para fazer uma boa substituição. Beleza? Então vamos aos fatores podem nos ajudar.

  • Fator 1 : O novo limite de integração inferior deverá ser um.
  • O ganho é que isso nos diz que devemos chamar u de alguma coisa que a gente divida por x

    E como o t tem que tá na história, pois é através dele que calculamos o limite de integração uma boa pedida seria u = t x

  • Fator 2: o novo limite de integração superior tem que y .

Se verificarmos as contas para o que a gente pensou anteriormente, para   t = x y   ⇒ u = x y x = y

Então fechou! Essa é a nossa substituição, manooooo! Vamos para as contas então.

Passo 2

Já vimos que nossa substituição u = t x   é ideal e já testamos os limites de integração, então agora, vamos apenas ver como fica a função do integrando.

u = t x   ⇒ u x = t   ⇒ u x t = 1   ⇒ 1 t = 1 u x  

Ah, faltou o d u   . Temos que   d u = 1 x d t  

Então agora é só substituir na integral,

∫ x x y 1 t d t =   ∫ 1 y 1 u   ( 1 x d t ) =   ∫ 1 y 1 u     d t

Prontinho

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule F' (x) sendo F dada por d) F x =∫ 1 x 2 s e nt 2 d t
Calcule F' (x) sendo F dada por f) F x =∫ x 2 x 3 1 5 + t 4 d t
Calcule F' (x) sendo F dada por c) F x =∫ x 2 c o st 4 d t
Suponha f t ≥ 0 e contínua em IR. Estude a função F x =∫ 1 x 3 + 3 x 2 f t d t com relação a crescimento e decrescimento.
Calcule ∫ 0 π G x d x onde G x =∫ π x s e nt 2 d t . (Sugestão: integre por partes.)