Enunciado

Seja g x = ∫ - 3 x f t   d t onde f é a função cujo gráfico é mostrado.

(a) Calcule g - 3 e g 3 .

(b) Estime g - 2 , g - 1 e g 0 .

(c) Em que intervalo g está crescendo?

(d) Onde g tem um valor máximo?

(e) Faça um esboço de gráfico de g .

(f) Use o gráfico da parte (e) para esboçar o gráfico de g ' x . Compare com o gráfico de f .

Passo 1

Item a:

Como g x = ∫ - 3 x f t   d t e a integral dá a área do gráfico, temos:

g - 3 = ∫ - 3 - 3 f t   d t = 0

E

g 3 = ∫ - 3 3 f t   d t = ∫ - 3 0 f t   d t + ∫ 0 3 f t   d t

Pela simetria:

g 3 = 0

Passo 2

Para g - 2 temos que a área está próxima à área do triângulo de base 1 e altura 2 de modo que:

g - 2 ≈ 2 1 1 2

g - 2 ≈ 1

Para g - 1 :

g - 1 = g - 2 + ∫ - 2 - 1 f t   d t ≈ 1.5

E

g 0 = g - 1 + ∫ - 1 0 f t   d t ≈ 2.5

Passo 3

Item c:

g está crescendo em - 3,0 pois com o crescimento de x nesse intervalo, nós continuamos adicionando mais área.

Passo 4

Item d:

Temos máximo no momento em que não temos mais adição de área e passamos a ter subtração de área, ou seja, temos máximo em x = 0 .

Passo 5

Item e:

Temos o esboço:

Passo 6

Item f:

O gráfico de g ' x é o mesmo gráfico de f x . Isso confirma o Teorema fundamental do cálculo.

Resposta

(a) g - 3 = 0 e g 3 = 0

(b) g - 2 ≈ 1 , g - 1 ≈ 1.5 e g 0 ≈ 2.5

(c) g está crescendo em - 3,0 .

(d) g máximo em x = 0 .

(e)

(f) O gráfico de g ' x é o mesmo gráfico de f x .

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6. Calcule g ) ∫ ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 2 d x
6. Calcule a ) ∫ cos 2 ⁡ 2 xd x
4. Calcule b )∫ - π 2 π 2 cos ⁡ x 2d x
6. Calcule c ) ∫ sin 2 ⁡ 3 xd x
6. Calcule h ) ∫ ( sin ⁡ x - cos ⁡ x ) 2 d x