1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S numa integral de linha e calcule.

d) F(x, y, z) = y \* i + x^2 \* j + z \* k, sigma é a superfície x^2 + y^2 = 1, 0 < z < 1, e y >= 0 sendo n vetor a normal apontando para baixo

Passo 1

Vamos calcular

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Então o primeiro passo é calcular o rotacional

∇ × F → = x ^ y ^ z ^ d d x d d y d d z y x ² z

Fazendo determinante descobrimos que

∇ × F → = 0,0 , 2 x - 1

Passo 2

Agora é só questão de calcular a normal. Temos duas maneiras de calcular, você faça da maneira que se sentir mais confortável

n →   = d σ d u × d σ d v d σ d u × d σ d v

Ou

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

Eu sempre acho mais fácil calcular pelo gradiente. No nosso caso a superfície é

σ :  

x 2 + y 2 = 1

  0 < z < 1

  y ≥   0

Temos um cilindro

Com apenas a parte positiva de y

Vamos calcular o gradiente

n → = ∇ σ | ∇ σ |    

Vamos calcular o gradiente

n → = ( 2 x , 2 y , 0 ) 4 x 2 + 4 y 2 → x , y , 0 x 2 + y 2  

Passo 3

Assim quando fizermos

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Teremos

∫ ∫ σ   0,0 , 2 x - 1 ⋅   x , y , 0 x 2 + y 2   d S

O que é zero, por causa do produto vetorial, o vetores são ortogonais.

∫ ∫ σ   0,0 , 2 x - 1 ⋅   x , y , 0 x 2 + y 2   d S = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 0

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