Seja f(x) = x + e^x e seja g a inversa de f . Calcule g'(1) e g''(1) .

Passo 1

Vamos calcular f ' x , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio, além da regra da cadeia:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' x = x 1 - 1 + e x = x 0 + e x = 1 + e x

Temos que f ' x ≠ 0 para todo x , logo ela é crescente, assim é uma bijeção de R em R , então podemos ter a inversa g :

g ' x = 1 f ' g x = 1 1 + e g x

Passo 2

Vamos calcular g ' 1 :

g ' 1 = 1 1 + e g 1

Temos que achar quem é g 1 , vamos a partir da inversa, como temos que:

f 0 = 0 + e 0 = 1 → g 1 = 0

Pronto, é só substituir:

g ' 1 = 1 1 + e g 1 = 1 1 + e 0 = 1 1 + 1 = 1 2

Passo 3

Agora vamos achar g ' ' 1 , para isso temos que achar g ' ' x , aqui vamos usar mais uma regra, a da divisão:

g ' ' x = 1 1 + e g x ' = f ' x h x - f x h ' x h x 2 = 1 ' 1 + e g x - 1 1 + e g x ' 1 + e g x 2 = 0 ⋅ 1 + e g x - 1 0 + e g x g ' x 1 + e g x 2 = - e g x g ' x 1 + e g x 2

Agora é só aplicar o valor:

g ' ' 1 = - e g 1 g ' 1 1 + e g 1 2 = - e 0 ⋅ 1 2 1 + e 0 2 = - 1 ⋅ 1 2 1 + 1 2 = - 1 2 ⋅ 1 2 2 = - 1 8

Resposta

g ' 1 = 1 2 e g ' ' 1 = - 1 8

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