Calcule

dy/dx = y/(x^2 - 1), -1 < x < 1

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

d y d x = y g x + f x

Teremos esse resultado:

y = k e ∫ g x d x + e ∫ g x d x ∫ f x e - ∫ g x d x d x k ∈ R

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com y e o outro lado o f x , o fator integrante será:

e - ∫ g x d x

Para o nosso caso o fator integrante será:

e - ∫ 1 x 2 - 1 d x

Podemos resolver por frações parciais:

∫ 1 x 2 - 1 d x = ∫ 1 x - 1 x + 1 d x

1 x - 1 x + 1 = A x - 1 + B x + 1

1 x - 1 x + 1 = A x + 1 + B x - 1 x - 1 x + 1

1 = A x + 1 + B x - 1

Vamos substituir x = 1 :

1 = A 1 + 1 + B 1 - 1 → 2 A = 1 → A = 1 2

Vamos substituir x = - 1 :

1 = A - 1 + 1 + B - 1 - 1 → - 2 B = 1 → B = - 1 2

1 x - 1 x + 1 = 1 2 1 x - 1 - 1 2 1 x + 1

∫ 1 x - 1 x + 1 d x = ∫ 1 2 1 x - 1 - 1 2 1 x + 1 d x =

1 2 ∫ 1 x - 1 d x - 1 2 ∫ 1 x + 1 d x = 1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 2 ln ⁡ x + 1

Ufa! Por fim temor o fator integrante:

e - 1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 2 ln ⁡ x + 1 = e ln ⁡ x + 1 1 2 - ln ⁡ x - 1 1 2 = e ln ⁡ x + 1 1 2 x - 1 1 2 = x + 1 1 2 x - 1 1 2 = x + 1 x - 1

Assim fazemos:

d y d x - y g x = f x

d y d x - y g x e - ∫ g x d x = f x e - ∫ g x d x

Vemos que d y d x - y g x e - ∫ g x d x nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

d y e - ∫ g x d x d x = d y d x - y g x e - ∫ g x d x

Assim:

d y e - ∫ g x d x d x = f x e - ∫ g x d x

Agora faremos integral dos dois lados:

∫ d y e - ∫ g x d x d x d t = ∫ f x e - ∫ g x d x d x

y e - ∫ g x d x + k = ∫ f x e - ∫ g x d x d x

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

y e - ∫ g x d x = ∫ f x e - ∫ g x d x d x + k

Por fim:

y = k e ∫ g x d x + e ∫ g x d x ∫ f x e - ∫ g x d x d x ,   k ∈ R

Para o e ∫ g x d x , teremos:

e ∫ 1 x 2 - 1 d x = x - 1 x + 1

Então, para o nosso caso teremos:

y = k x - 1 x + 1 + x - 1 x + 1 ∫ 0 x + 1 x - 1 d x

Passo 2

Vamos ficar com:

y = k x - 1 x + 1 + x - 1 x + 1 ∫ 0 x + 1 x - 1 d x

y = k x - 1 x + 1 + 0 = y = k x - 1 x + 1

Assim:

y = k x - 1 x + 1

Resposta

y = k x - 1 x + 1

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