Seja f(x) = x^2 \* sen(x) + cos(x) . Calcule:

  1. f'(x)
  2. f'(0)
  3. f'(3a)
  4. f'(x^2)

Passo 1

  1. Oi, pessoal! Nessa questão temos que achar a derivada de f x e depois achar a derivada em determinados pontos.
  2. Vamos começar calculando f ' x usando a derivada da soma! Fica assim,

    f ' ( x ) = x 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x ' = x 2 sen ⁡ x ' + ( cos ⁡ x ) '

    Lembrando que,

    x n ' = n x n - 1

    sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

    cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

    Passo 2

    Para a primeira derivada vamos usar a regra do produto:

    h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

    Temos que:

    h x = x 2

    e

    g x = sen ⁡ x

    Assim:

    ( x 2 sen ⁡ x ) ' = x 2 ' sen ⁡ x + sen ⁡ x ' x 2

    Logo,

    ( x 2 sen ⁡ x ) ' = 2 x sen ⁡ x + cos ⁡ x x 2

    Passo 3

    Agora vamos usar a da função trigonométrica para calcular a segunda derivada:

    cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

    Passo 4

    Juntando:

    f ' x = x 2 sen ⁡ x ' + cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x + 2 x sen ⁡ x + x 2 cos ⁡ x

    Passo 5

  3. Para calcular f ' 0 é só aplicar o valor 0 na derivada que achamos no passo 4 :
  4. f ' 0 = - sen ⁡ 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ sen ⁡ 0 + 0 2 ⋅ cos ⁡ 0

    f ' 0 = - 0 + 0 + 0 ⋅ 1 = 0

    Passo 6

  5. Para calcular f ' 3 a é só aplicar o valor 3 a na derivada que achamos no passo 4 :
  6. f ' 3 a = - sen ⁡ 3 a + 2 ⋅ 3 a ⋅ sen ⁡ 3 a + 3 a 2 ⋅ cos ⁡ 3 a

    f ' 3 a = - sen ⁡ 3 a + 6 a sen ⁡ 3 a + 9 a 2 cos ⁡ 3 a

    Passo 7

  7. Para calcular f ' x 2 é só aplicar o valor x 2 na derivada que achamos no passo 4 :

f ' x 2 = - sen ⁡ x 2 + 2 ⋅ x 2 ⋅ sen ⁡ x 2 + x 2 2 ⋅ cos ⁡ x 2

f ' x 2 = - sen ⁡ x 2 + 2 x 2 sen ⁡ x 2 + x 4 cos ⁡ x 2

Resposta

  1. f ' x = - sen ⁡ x + 2 x sen ⁡ x + x 2 cos ⁡ x
  2. f ' 0 = 0
  3. f ' 3 a = - sen ⁡ 3 a + 6 a sen ⁡ 3 a + 9 a 2 cos ⁡ 3 a
  4. f ' x 2 = - sen ⁡ x 2 + 2 x 2 sen ⁡ x 2 + x 4 cos ⁡ x 2
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