Enunciado

Construa uma função f : R → R que seja contínua em R e que seja derivável em todos os pontos, exceto em - 1,0 e 1 .

Passo 1

Dos exercícios anteriores vimos que uma função derivável é aquela em que a função é suave, ou seja, aquela em que não apresenta um bico em seu esboço.

Passo 2

Um exemplo de função que seja derivável é um polinômio. Mas agora queremos que essa função não seja derivável em três pontos: x = - 1,0   e   1 . Bom, um polinômio de terceira ordem que corresponde a essas raízes seria um bom candidato. Mas e como deixar ele com um bico? Ah! É aqui que entra a função modular! Lembra que a função módulo deixa tudo que é negativo positivo? Então! Em um gráfico isso não é diferente!

Passo 3

Vamos supor o polinômio f x = x 3 - x . Fatorando temos:

f x = x ( x 2 - 1 )

E as raízes ( f x = 0 ) são - 1,1   e   0 . Dá uma espiada no gráfico:

Super suave em todos os pontos, certo? Então temos que essa função é diferenciável em todos os pontos. Agora e se colocarmos um módulo nela? Sendo assim a nova função fica:

f x = | x 3 - 3 | .

Toda a parte negativa passa para cima e ficamos com bicos justamente nas raízes dessa função. Saca só:

x = - 1,0   e   1 apresenta bicos e ali já sabemos que a função não é diferenciável.

Beleza?

Resposta

f x = | x 3 - 3 |

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