Enunciado

Seja f x = x 2 sin ⁡ 1 x .

(a)Os limites lim x → 0 + ⁡ f ( x ) e lim x → 0 - ⁡ f ( x ) são formas indeterminadas?

(b)Use um recurso computacional para gerar o gráfico de f e use o gráfico para fazer conjecturas sobre os limites em (a).

Passo 1

(a)Se aplicássemos 0 diretamente em x , dentro da função, obviamente teríamos uma forma indeterminada, pois teríamos o seno de um ângulo , que é indeterminado.

Mas esses limites são calculáveis pelo Teorema do Confronto, em que a gente faz o seguinte procedimento:

Passo 2

Primeiro, lembramos da trigonometria básica que o seno de um ângulo (que, nesse caso, é descrito por 1 x ) está limitado entre - 1 e 1 . Escrevemos então:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1

Agora, repara que se a gente multiplicar cada termo da inequação por x 2 a gente vai ter:

- x 2 ≤ x 2 sin ⁡ 1 x ≤ x 2

Que, no termo do meio, resulta exatamente na nossa função f ( x ) . O Teorema do Confronto diz que, quando uma função é limitada entre outras duas, o limite dessas funções dos extremos a um determinado valor, também vai valer pra função do meio!

Como assim? Vamos ver melhor:

Passo 3

Se queremos lim x → 0 + ⁡ f ( x ) e lim x → 0 - ⁡ f ( x ) , basta a gente calcular esses mesmos limites pras funções que limitam f x = x 2 sin ⁡ 1 x , que são - x 2 e x 2 .

Então fazemos:

lim x → 0 + ⁡ - x 2 = - 0 2 = 0

lim x → 0 - ⁡ - x 2 = - 0 2 = 0

lim x → 0 + ⁡ x 2 = - 0 2 = 0

lim x → 0 - ⁡ x 2 = - 0 2 = 0

Tendo todos esses limites valendo 0 , então, pelo Teorema do Confronto, nos resta a conclusão de que:

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x = lim x → 0 - ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x = 0

Passo 4

Pelo gráfico da função, fica claro que, se aproximando de 0 pela esquerda ou pela direita a função se aproxima de 0. Comprovamos assim que os limites de fato não são indeterminados!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule. lim x → + ∞ ⁡ e x x 3
Seja n ≥ 2 um natural dado. Prove que x n - 1 ≥ n x - 1 para todo x ≥ 1 .(Sugestão: Verifique que f x = x n - 1 - n x - 1 é estritamente crescente em 1 , + ∞ .)
Mostre que, para todo x0 , tem-se cos ⁡ x1 - x 2 2 sen ⁡ xx - x 3 3 !
Mostre que, para todo x0 , tem-se sen ⁡ xx - x 3 3 ! + x 5 5 ! 0sen ⁡ x - x - x 3 3 !x 5 5 ! (Sugestão: Utilize o item (b) do Exercício 10 e o item (a) acima.)
Prove que, para todo x0 , tem-se e xx + 1 e x1 + x + x 2 2