Enunciado

Para que valores de a ,   m   e   b a função:

f x = 3 ,     x = 0 - x 2 + 3 x + a ,     0 < x < 1 m x + b ,     1 ≤ x ≤ 2

Satisfaz a hipótese do teorema do valor médio no intervalo[0, 2]?

Passo 1

Para que a função satisfaça o teorema do valor médio, ela necessita:

Seja contínua em todos os pontos do intervalo.

Seja derivável em todos os pontos de seu interior.

Passo 2

Primeiramente, devemos torna-la contínua em x = 0 , para em seguida determinar o valor da próxima equação.

lim x → 0 + ⁡ - x 2 + 3 x + a = f 0 = 3

lim x → 0 ⁡ - x 2 + 3 x + a = 3

- 0 2 + 3 × 0 + a = 3

a = 3

Passo 3

Conhecendo o valor de a na equação, as derivadas das funções remanescentes devem ser iguais entre si.

f ' x = 0 ,     x = 0 - 2 x + 3 ,     0 < x < 1 m ,     1 ≤ x ≤ 2

Igualando as funções no ponto x = 1 , temos:

lim x → 1 - ⁡ - 2 x + 3 = lim x → 1 + ⁡ m

- 2 1 + 3 = m

m = 1

Passo 4

Por fim, para verificarmos o valor de b , igualamos os valores das funções em x = 1 , para torna-las contínuas:

lim x → 1 - ⁡ - x 2 + 3 x + 3 = lim x → 1 + ⁡ x + b

- 1 2 + 3 1 + 3 = 1 + b

- 1 + 6 = 1 + b

6 - 2 = b

b = 4

Resposta

Os valores dos coeficientes para que a função atenda ao teorema do valor médio, são:

a = 3 ,     m = 1 ,     b = 4

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