Enunciado

Seja T o tetraedro de vértice O = 0,0 , 0 ; A = 2,0 , 0 ; B = 0,6 , 0 e C = 0,0 , 2 . Sejam S a superfície lateral de T constituída pelas faces de T que não estão no plano x y , e F x , y , z = 3 y + z   ; x + 4 z   ; 2 y + x , um campo vetorial de R 3 . Calcule ∬ S r o t F →   .   n d s , com a normal exterior a S .

Passo 1

Faaalaaa joveeem... Partiu mais uma questãozinha?? Let’s bora!

Sempre lembrando que essa matéria exige que tu sejas não só bom em cálculo, mas também um exímio desenhista. A gente tem que buscar essa superfície:

A superfície S é a “união” de todas essas três superfícies que não estão no plano   x y .

Então podemos escrever o seguinte:

∬ S = S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 r o t F →   .     n →   d s

Se você bem lembra, para podermos aplicar o teorema de Gauss é condição necessária que a curva seja FECHADA.

Então não poderíamos aplicar isso aqui porque a superfície S não leva em consideração a base.

Mas como a gente é do contra, vamos colocar o diaxo da base sim!

Então repare que:

∬ S r o t F →   .     n →   d s + ∬ B a s e r o t F →   .     n →   d s = ∭ W d i v F →   d v

Pegou a ideia??

Ou seja, o que a gente tá procurando é:

∬ S r o t F →   .     n →   d s = ∭ W d i v F →   d v - ∬ B a s e r o t F →   .     n →   d s

Vamos correr atrás disso daê!

Passo 2

Começando com a integral tripla que é na verdade a aplicação do teorema de Gauss.

Começando pelo divergente; lembrando que a gente acha ele assim:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Onde:

F x , y , z = 3 y + z   ⏟ F 1 ; x + 4 z ⏟ F 2   ; 2 y + x ⏟ F 3  

Chegaremos em:

d i v F → = 0 + 0 + 0 = 0

Ouu seeejaaa:

∭ W d i v F →   d v = 0

Simples assim BB.

Passo 3

Próxima!

∬ B a s e r o t F →   .     n →   d s

Aqui se trata quase que de teorema de Stokes; ta lembrado?

Vamos atrás desse rotacional (só falta ser zero também)...

r o t F → = ∇   x   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   ;   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x     ;   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Só precisamos desses diferenciais:

∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z = 2 - 4 = - 2

∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x = 1 - 1 = 0

E

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1 - 3 = - 2

Portanto o nosso rotacional:

r o t F → = - 2 ,   0 ,   - 2

Antes de tacarmos tudo na integral, falta o vetor normal. Não tem muito segredo o vetor está normal ao plano x y .

Achar um vetor normal a qualquer plano é bem tranquilo, olha só.

Seja o plano a x + b y + c z = d o vetor normal será: n → = a , b , c .

Então como a base ta no plano x y , que pode na verdade ser escrito como: 0 x + 0 y + z = 0 ; o nosso vetor será:

n → = 0 ; 0 ; - 1

Por que?? Porque o enunciado diz que o vetor normal é exterior, então ele tem que estar “apontado” pra baixo. Pegou a ideia??

Agora podemos tacar na integral:

∬ B a s e - 2 ,   0 ,   - 2   .   0 ; 0 ; - 1   d s   = ∬ B a s e 2 d x d y

Perceba que:

∬ B a s e d x d y = A r e a   B a s e

Ou seja, precisamos da área daquele trianglin da base ali.

Como que a gente acha a área mesmo?? Base vezes altura por dois; lembra?

A = 2 6 2 = 6

Portanto:

2 ∬ B a s e d x d y = 2 6 = 12

Maaasss caarmeeeiaaa que ainda não é a resposta!

Lembra que a gente definiu:

∬ S r o t F →   .     n →   d s = ∭ W d i v F →   d v - ∬ B a s e r o t F →   .     n →   d s

Então:

∬ S r o t F →   .     n →   d s = 0 - 12 = - 12

That’s! See u...

Resposta

Concluimos que:

∬ S r o t F →   .     n →   d s = - 12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja F → x , y , z = x y 2 i → + x y zj → + z - y 2 z - 1 2 x z 2 k → e seja σ a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 , sendo n → a normal com componente z ≥ 0 . Calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S .
Seja u → um campo vetorial de classe C 2 num aberto Ω ⊂ R 3 e seja B ⊂ Ω um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Seja σ a fronteira de B , com normal n → apontando para fora de B . Cal
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: d )B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 ≤ 1 ,x 2 + y 2 ≤ z ≤ 5 - x 2 - y 2 } e u → = 3 x y i → - 3 2 y 2 j → + z k → .
11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Proveb. ∫ ∫ σ f ∂ g ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 g + ∇ f ⋅ ∇ gd V
12 . a . Sejam u e v dois campos vetoriais de classe C1 em ℝ 3 ; seja B uma esfera com fronteira σ e normal exterior . Suponha que r o tu =r o tved i vu =d i vv . Suponha, ainda, que u · v=v · u sobre