Enunciado

Calcule ∬_S r o t (vec F) . vec n d s , onde F (x , y , z) = (2 x y ; 0 ; - x z) e S é a superfície do elipsóide:

(x^2)/(4) + (y^2)/(9) + (z^2)/(16) = 1

Passo 1

Faaalaaa comigo BB... Vamos juntos riscar mais uma questãozinha da nossa lista. Let’s bora!!

Vamos esboçar nossa criatura:

Ta aí a nossa superfície.

Bom a gente não tem muito o que discutir aqui, vamos atrás de obter o rotacional desse campo:

r o t (vec F) = grad x vec F = |[[i,j,k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[F_1,F_2,F_3]]| = ((del F_3)/(del y) - (del F_2)/(del z) ; (del F_1)/(del z) - (del F_3)/(del x) ; (del F_2)/(del x) - (del F_1)/(del y))

Só encontrar essas diferenciais, lembrando que:

F (x , y , z) = (underset(F_1)(ubrace 2 x y) ; underset(F_2)(ubrace 0) ; underset(F_3)(ubrace - x z))

Vamos lá:

(del F_3)/(del y) - (del F_2)/(del z) = 0 - 0 = 0

(del F_1)/(del z) - (del F_3)/(del x) = 0 - (- z) = z

E

(del F_2)/(del x) - (del F_1)/(del y) = 0 - 2 x = - 2 x

Então o nosso rotacional vai ficar assim:

r o t (vec F) = (0 ; z ; - 2 x)

Passo 2

Antes de tacar na nossa integral, ainda precisamos encontrar o vetor normal... e para fazer isso precisaremos parametrizar essa superfície.

Para isso podemos tomar as coordenadas esféricas, olha só:

{[[x,=,2,sin phi,cos theta],[y,=,3,sin phi,sin theta],[,z,=,4,cos phi]])

Lembrou aí?

Então temos uma f somente em função dos nossos parâmetros theta e phi :

f (theta ; phi) = (2 sin phi cos theta ; 3 sin phi sin theta ; 4 cos phi)

E lembra que o nosso vetor normal pode ser obtido assim:

(del f)/(del phi) = (- 2 cos theta cos phi ; - 3 cos phi sin theta ; 4 sin phi)

E

(del f)/(del theta) = (2 sin phi sin theta ; - 3 sin phi cos theta ; 0)

E ai então:

vec N = |[[vec i,vec j,vec k],[-,2,cos theta,cos phi,-,3,cos phi,sin theta,4,sin phi],[2,sin phi,sin theta,,-,3,sin phi,cos theta,0]]|

É chatinho, mas não tem outeo jeito...

N (theta ; phi) = [0 vec i + 8 sin^2 phi sin theta vec j + 6 cos^2 theta cos phi sin phi vec k] - [- 12 sin^2 phi sin theta vec i + 0 vec j + - 6 sin^2 theta cos phi sin phi]

E então:

N (theta ; phi) = 12 sin^2 phi sin theta vec i + 8 sin^2 phi sin theta vec j + 6 cos phi sin phi vec k

Esse infelizmente é o nosso vetor normal.

E perceba o seguinte, a projeção dessa superfície no plano x y forma uma elipse ( ah vá, elipsoide... elipse...) que pega os 4 quadrantes do plano; portanto:

0 <= theta <= 2 pi

E note também que:

0 <= phi <= pi

Pois a nossa superfície pega os dois lados do eixo z .

Passo 3

Agora, antes de tacar tudo na integral, temos que reescrever o rotacional em termos de theta e phi :

r o t (vec F) = (0 ; 4 cos phi ; - 4 sin phi cos theta)

Antes tarde do que nunca né não?! É só tacar na integral:

int_0^(2 pi) int_0^(pi) (0 ; 4 cos phi ; - 4 sin phi cos theta) . (12 sin^2 phi sin theta ; 8 sin^2 phi sin theta ; 6 cos phi sin phi) d phi d theta

Haajaaa cooraaçããooo amigo... vamos devagar!

int_0^(2 pi) int_0^(pi) (32 sin^2 phi cos phi sin theta - 24 sin^2 phi cos phi cos theta) d phi d theta

Perceba que ao intergarmos phi , teremos a seguinte situação:

int sin^2 phi cos phi

Se chamarmos u = sin phi , então teremos d u = - cos phi d phi ; teremos:

- int u^2 d u = - (u^3)/(3)

Ou seja:

int sin^2 phi cos phi = - (sin^3 phi)/(3)

Voltaandooo pro nosso monstrinho:

int_0^(2 pi) int_0^(pi) (32 sin^2 phi cos phi sin theta - 24 sin^2 phi cos phi cos theta) d phi d theta

int_0^(2 pi) (32 sin theta [- (sin^3 phi)/(3)] - 24 cos theta [- (sin^3 phi)/(3)] d theta) (phi = pi)/(phi = 0)

Caarrmeeeeiaa ta feio, mas olha só:

sin 0 = sin pi = 0

Ou seja meu pequeno gafanhoto:

∬_S r o t (vec F) . vec n d s = 0

É só correr pro abraço!

Resposta

Concluímos:

∬_S r o t (vec F) . vec n d s = 0

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Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F .d r . Em cada caso, C é orientado no sentido anti-horário visto de cima.10- F x , y , z = x i + y j + x 2 + y 2 k , C é a fronteira da parte do paraboloide
Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ ∫ S r o tF .d S 2- F x , y , z = y zi + x zj + x yk S é a parte do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 que está acima do plano z = 5 , com orientação para cima.
Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ ∫ S r o tF .d S 3- F x , y , z = x 2 e y z i + y 2 e x z j + z 2 e x y k , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,z ≥ 0 , com orientação para cima.
17- Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F x , y , z = x x + z 2 i + y y + x 2 j + z z + y 2 k Quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da parte da esfera x 2 + y
16-Seja F x , y , z =a x 3 - 3 x z 2 , x 2 y + b y 3 , c z 3 Seja C a curva do Exercício 12 e considere todas as possíveis superfícies lisas S cuja curva fronteira é C . Ache os valores de a , b e c p