Enunciado

Seja f ( x )   =   c o s ( x 2 ) .

(a) Use um CAS para aproximar o valor máximo de f 4 x em [ 0 ,   1 ] .

(b) Qual é o tamanho de n na aproximação S n de ∫ 0 1 f ( x ) d x pela regra de Simpson para garantir que o erro absoluto seja menor do que 10 - 4 ?

(c) Calcule a integral usando a aproximação S n pela regra de Simpson com o valor de n obtido em (b).

Passo 1

(a) Vamos usar o Wolfram Mathematica para calcular o valor máximo, em módulo, da quarta derivada de f ( x ) .

Como a gente quer o valor em módulo, vamos maximizar e minimizar a função f 4 ( x ) em [ 0,1 ] , e ver qual é o maior valor em módulo.

Vemos que o maior valor em módulo que essa função atinge é 42,5518 . Então podemos dizer que:

K 4 = max 0 ≤ x ≤ 1 ⁡ f 4 x ≈ 42,5518

Passo 2

(b) Para responder essa, a gente vai usar a fórmulinha:

E s ≤ b - a 5 K 4 180   n 4

Sabemos que a = 0 , b = 1 e K 4 ⁡ ≈ 42,5518 , e queremos garantir que o valor de | E s | seja menor que 10 - 4 . Então a gente pode resolver a inequação:

E s ≤ b - a 5 K 4 180   n 4 ≤ 10 - 4

Vamos isolar n e substituir os valores que a gente conhece:

b - a 5 K 4 180 ⋅ 10 - 4 1 4 ≤ n ∴ 6,97 ≤ n

Como n deve ser um inteiro par, o menor número que satisfaz essa inequação é n = 8 .

Passo 3

(c) Agora é só usar a fórmulinha:

S n = 1 3 b - a n y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + … + 4 y n - 1 + y n  

Sendo a = 0 , b = 1 e n = 8 :

S 8 = 1 3 ⋅ 1 8 y 0 + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + 2 y 4 + 4 y 5 + y 6

Onde:

y i = f x i = cos ⁡ x i 2

E:

x i = x 0 + i ⋅ b - a n = 0 + i ⋅ 1 8

Passo 4

Fazendo i variar de 0 até 8 , achamos os valores de y i e substituímos na fórmula de S 8 , para achar:

S 8 = 0,904524

Resposta

(a) K 4 = max 0 ≤ x ≤ 1 ⁡ f 4 x ≈ 42,5518

(b) n = 8

(c) S 8 = 0,904524

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