Enunciado

Seja f : R 2 → R e suponha que ∂ f ∂ x x , y = ∂ f ∂ y x , y = 0 para todo ( x , y ) ∈ R 2 . Prove que f é constante.

Passo 1

Devemos fazer uso das informações que nós temos ( ∂ f ∂ x x , y = ∂ f ∂ y x , y = 0 )! Perceba: a derivada é nula, ou seja, f NÃO VARIA.

Realmente, parece que tá certo, mas, como demonstrar?

Passo 2

Bem, vamos por um momento considerar a igualdade

∂ f ∂ x x , y = 0

Qual a função f que sempre satisfaz a equação acima? Olha, se tomarmos f = g y , onde g ( y ) é qualquer função só de y , a equação resolve. Ou seja: se f não varia com x , então f nem é função de x na real!

Ok, suponhamos então que f = g y . Vamo substituir isto em ∂ f ∂ y x , y = 0 :

∂ ∂ y g y = d g d y = 0

Ué? Deu zero? Hmm... Note que até trocamos para derivada total já. Agora realmente não tem jeito, a solução só pode ser g y = C , onde C é constante! Ou seja, as duas equações só fecham se tivermos

f = C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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