Seja f(x, y, z) = x / (x^2 + y^2 + z^2) . Verifique que

x \* (∂f/∂x) + y \* (∂f/∂y) + z \* (∂f/∂z) = -f

Passo 1

O enunciado dos dá uma função f de três variáveis e nos pede para mostrar uma relação matemática.

A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas parciais da f e substituir na equação dada, então, vamos nessa!

Passo 2

Temos f x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 . Assim, calculando a derivada em x , temos:

∂ f x , y , z ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 + z 2 = x ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 + z 2 + 1 x 2 + y 2 + z 2 ∂ ∂ x x

Daí, pela regra da cadeia:

∂ f x , y , z ∂ x = x - 1 x 2 + y 2 + z 2 2 ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 + 1 x 2 + y 2 + z 2 1

Ou seja, temos:

∂ f x , y , z ∂ x = x - 2 x x 2 + y 2 + z 2 2 + 1 x 2 + y 2 + z 2

Reescrevendo de forma um pouco mais compacta, ficamos com:

∂ f x , y , z ∂ x = - x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

Passo 3

Agora, calculando a derivada da f em y , temos:

∂ f x , y , z ∂ y = ∂ ∂ y x x 2 + y 2 + z 2 = x ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2 + z 2

Daí, pela regra da cadeia:

∂ f x , y , z ∂ y = x - 1 x 2 + y 2 + z 2 2 ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2

Ou seja, temos:

∂ f x , y , z ∂ y = x - 2 y x 2 + y 2 + z 2 2

Passo 4

Agora, calculando a derivada da f em z , temos:

∂ f x , y , z ∂ z = ∂ ∂ z x x 2 + y 2 + z 2 = x ∂ ∂ z 1 x 2 + y 2 + z 2

Daí, pela regra da cadeia:

∂ f x , y , z ∂ z = x - 1 x 2 + y 2 + z 2 2 ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2

Ou seja, temos:

∂ f x , y , z ∂ z = x - 2 z x 2 + y 2 + z 2 2

Passo 5

Agora que obtivemos todas as derivadas da f , bata substituir na fórmula dada com cuidado. No momento vamos desenvolver só a parte esquerda da fórmula, ou seja:

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y + z ∂ f ∂ z

Quanto será que vele esta expressão? Basta substituir os resultados que já temos, obtendo:

x - x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 2 + y x - 2 y x 2 + y 2 + z 2 2 + z x - 2 z x 2 + y 2 + z 2 2

Notamos que todos os termos estão com o mesmo denominador. Assim, podemos juntar eles facilmente:

x - x 2 + y 2 + z 2 - 2 x y 2 - 2 x z 2 x 2 + y 2 + z 2 2 = x - x 2 - y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

Mas, note que o numerador cancela uma potência do denominador. Assim, o resultado do lado esquerdo é:

- x x 2 + y 2 + z 2

Hmm, esta expressão parece que eu já vi em algum lugar... Pera aí! Ela é exatamente igual a - f não é? Maravilha! Acabamos de provar o que o enunciado pedia.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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