Enunciado

Seja F → : I → R 3 , I intervalo, derivável até 2ª ordem em I . Suponha que exista um real λ tal que, para todo t em I , d 2 F → d t 2 t = λ   F → t . Prove que F → t × d F → d t t é constante em I .

Passo 1

Queremos provar que F → t × d F → d t t é constante. Se derivarmos esse vetor e encontrarmos 0 → , podemos usar o exercício 3 como prova de que esse é um vetor constante em I .

Derivando então

d d t F → t × d F → d t t

Usando a derivação do produto, que como provado nessa seção pode ser usado com o produto vetorial normalmente

d d t F → t × d F → d t t = d F → d t × d F → d t + F → × d 2 F → d t 2

Foi dado no enunciado que

d 2 F → d t 2 t = λ   F → t

Então

d d t F → t × d F → d t t = d F → d t × d F → d t + λ   F → × F →

Passo 2

O produto vetorial de um vetor por ele mesmo é 0 → , então

d d t F → t × d F → d t t = 0 →

Como provamos no exercício 3, se a derivada de um vetor V ( t ) é o vetor nulo, então V t = k , sendo k um vetor constante, então

d d t F → t × d F → d t t = k ,   k ∈ R 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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