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Exercícios Resolvidos de Guidorizzi - Vol 3

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3 - 1.5 - 3

Sejam F : Ω ⊂ R n → R m e seja P um ponto de acumulação de Ω . Suponha que exista M > 0 tal que, para todo X ∈ Ω , F X - L < M X - P , onde L ∈ R m é um vetor fixo. Calcule lim X → P ⁡ F ( X ) e justifique.

Passo 1

Usando as informações do enunciado, sabemos que existe um M > 0 tal que, para todo X ∈ Ω , F X - L < M X - P . Sendo assim, temos:

∀ ε > 0 ,   ∃ δ = ε M

Tal que ∀ X ∈ Ω ,     0 < X - P < ε M . Que nos leva a:

F X - L ≤ M X - P

E como X - P < ε M , substituindo aqui, temos:

F X - L ≤ ε

Ou seja:

lim X → P ⁡ F X = L

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