Enunciado

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Sejam f x , y = e x + 5 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f   em volta de ( 0,0 )

b) Avalie o erro para a aproximação

e x + 5 y ≈ P 1 x , y

Para x = 0,01 e y = 0,01

Passo 1

Opa, bora lá! Ele quer avaliar o erro certo? Então pra isso vamos achar a fórmula do erro. Pra uma aproximação de primeira ordem, vamos ter:

E x , y = 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x - ,   y -   x - x 0 2 + 2   ∂ 2 f ∂ x ∂ y x - ,   y -   x - x 0 y - y 0 +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y -   y - x 0 2

Vamos precisar de umas derivadas aí né? As primeiras vão ser:

∂ f ∂ x = ∂ e x + 5 y ∂ x = d x + 5 y d x ∙ e x + 5 y = e x + 5 y

∂ f ∂ y = ∂ e x + 5 y ∂ y = d x + 5 y d y ∙ e x + 5 y = 5 e x + 5 y

E as no interior da expressão do erro serão:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ f ∂ x ∂ x = ∂ e x + 5 y ∂ x = d x + 5 y d x ∙ e x + 5 y = e x + 5 y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ e x + 5 y ∂ y = d x + 5 y d y ∙ e x + 5 y = 5 e x + 5 y

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ f ∂ y ∂ y = ∂ 5 e x + 5 y ∂ y = 5 ∙ d x + 5 y d y ∙ e x + 5 y = 25 ∙ e x + 5 y

Portanto, o cálculo do Erro fica:

e x - + 5 y - =

E x , y = 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x - ,   y -   x - 0 2 + 2   ∂ 2 f ∂ x ∂ y x - ,   y -   x - 0 y - 0 +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y -   y - 0 2

E x , y = 1 2 x 2 e x - + 5 y - + 10 x y   e x - + 5 y - +   25 y 2 e x - + 5 y -

E x , y = e x - + 5 y - 2 x 2 + 10 x y +   25 y 2

E x , y = e x - + 5 y - 2 x + 5 y 2

Passo 2

Show de bola, na letra a desse exercício foi provado que:

e x + 5 y - P 1 x , y < 3 2 x + 5 y 2

O que é o mesmo que dizer:

E x , y < 3 2 x + 5 y 2

Uma vez que:

f x , y = e x + 5 y = P 1 x , y + E x , y

Show, vamos então testar os pontos do enunciado:

E 0,01   , 0,01   < 3 2 0,01   + 5 ∙ 0,01   2

E < 3 2 0,06 2

E < 3 2 ∙ 0,0036

E < 0,0054

Em ordem de grandeza, podemos afirmar que:

E <   10 - 2

Resposta

E <   10 - 2

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →