Sejam G(u, v) = F(x, y) / x , u = x + y e v = y / x . Suponha que ∂^2F/∂x^2 - 2∂^2F/∂x∂y + ∂^2F/∂y^2 = 0 . Calcule (∂^2 G) / (∂v^2) .

Passo 1

A questão fornecer uma função G ( u , v ) , onde u e v são funções de x e y :

u = x + y             e             v = y x

Invertendo essas relações:

y = v x ⇒ u = x + v x ⇒ x = u 1 + v

Assim,

y = v u 1 + v

Devemos calcular a segunda derivada de G com relação a v , para isso precisamos calcular inicialmente a primeira derivada:

∂ G ∂ v = ∂ ∂ x F x , y x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ ∂ y F x , y x ⋅ ∂ y ∂ v

Note que

∂ x ∂ v = - u 1 + v 2         e         ∂ y ∂ v = u   1 + v - v 1 + v 2 = u 1 + v 2

Assim,

∂ G ∂ v = u 1 + v 2 ⋅ - ∂ ∂ x F x , y x + ∂ ∂ y F x , y x

Por simplicidade, vamos chamar

h x , y = - ∂ ∂ x F x , y x + ∂ ∂ y F x , y x

Assim,

∂ G ∂ v = u 1 + v 2   h ( x , y )

Passo 2

Agora que temos a primeira derivada, vamos achar a segunda:

∂ 2 G ∂ v 2 = ∂ ∂ v ∂ G ∂ v = ∂ ∂ v u 1 + v 2   h x , y

Assim, pela regra do produto:

∂ 2 G ∂ v 2 = ∂ ∂ v u 1 + v 2   h x , y + u 1 + v 2 ∂ ∂ v h x , y

Como

∂ ∂ v u 1 + v 2 = - 2 u 1 + v 3

Assim,

∂ 2 G ∂ v 2 = u 1 + v 2   - 2 1 + v   h x , y + ∂ ∂ v h x , y

Passo 3

Agora vamos focar no termo ∂ ∂ v h x , y :

∂ ∂ v h x , y = ∂ h ∂ x ⋅ ∂ x ∂ y + ∂ h ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v = u 1 + v 2 - ∂ h ∂ x + ∂ h ∂ y

Assim,

∂ 2 G ∂ v 2 = u 1 + v 3   - 2   h x , y + u 1 + v   - ∂ ∂ x h x , y + ∂ ∂ y h x , y

Observe que podemos deixar as coisas um pouquinho mais simples se lembrarmos que

u 1 + v = x

Portanto:

∂ 2 G ∂ v 2 = u 1 + v 3   - 2   h x , y + x   - ∂ ∂ x h x , y + ∂ ∂ y h x , y

Só nos resta agora calcular a expressão

f x , y = - 2   h x , y + x   - ∂ ∂ x h x , y + ∂ ∂ y h x , y

Passo 4

Vamos achar primeiro h :

h x , y = - ∂ ∂ x F x , y x + ∂ ∂ y F x , y x

O primeiro termo sai pela regra do produto:

∂ ∂ x F x , y x = ∂ ∂ x x - 1 ⋅ F x , y = - 1 x 2 F + 1 x ∂ F ∂ x

Já a o segundo termo é mais simples:

∂ ∂ y F x , y x = 1 x ∂ F ∂ y

Juntando tudo, obtemos

h x , y = 1 x 2 F + 1 x   ∂ F ∂ y - ∂ F ∂ x

Passo 5

Agora vamos procurar as derivadas de h com relação a x e y :

∂ h ∂ x = - 2 x 3 F + 1 x 2 ∂ F ∂ x - 1 x 2 ∂ F ∂ y - ∂ F ∂ x + 1 x ∂ ∂ x ∂ F ∂ y - ∂ F ∂ x

Assim,

∂ h ∂ x = - 2 x 3 F + 1 x 2 2 ∂ F ∂ x - ∂ F ∂ y + 1 x ∂ 2 F ∂ x   ∂ y - ∂ 2 F ∂ x 2

Com relação a y :

∂ h ∂ y = 1 x 2 ∂ F ∂ y + 1 x ∂ 2 F ∂ y 2 - ∂ 2 F ∂ y   ∂ x

Supondo que as derivadas mistas podem ser trocadas:

∂ h ∂ y = 1 x 2 ∂ F ∂ y + 1 x ∂ 2 F ∂ y 2 - ∂ 2 F ∂ x   ∂ y

Assim, temos que

- ∂ h ∂ x + ∂ h ∂ y = 1 x 2 ∂ F ∂ y + 1 x ∂ 2 F ∂ y 2 - ∂ 2 F ∂ x   ∂ y + 2 x 3 F - 1 x 2 2 ∂ F ∂ x - ∂ F ∂ y - 1 x ∂ 2 F ∂ x   ∂ y - ∂ 2 F ∂ x 2

Assim,

- ∂ h ∂ x + ∂ h ∂ y = 2 x 2 ∂ F ∂ y - ∂ F ∂ x + 2 x 3 F + 1 x   ∂ 2 F ∂ x 2 - 2 ∂ 2 F ∂ x   ∂ y + ∂ 2 F ∂ y 2

Mas do enunciado do problema, temos que

∂ 2 F ∂ x 2 - 2 ∂ 2 F ∂ x   ∂ y + ∂ 2 F ∂ y 2 = 0

Assim, a expressão se simplifica e obtemos

- ∂ h ∂ x + ∂ h ∂ y = 2 x 2 ∂ F ∂ y - ∂ F ∂ x + 2 x 3 F

Passo 6

Eu sei que nessa altura você deve ter esquecido o que queremos fazer no problema, mas lembre-se que por enquanto queremos achar:

f x , y = - 2   h x , y + x   - ∂ ∂ x h x , y + ∂ ∂ y h x , y

Nos passos anteriores achamos

h x , y = 1 x 2 F + 1 x   ∂ F ∂ y - ∂ F ∂ x

- ∂ h ∂ x + ∂ h ∂ y = 2 x 2 ∂ F ∂ y - ∂ F ∂ x + 2 x 3 F

Substituindo essas duas expressões, achamos f :

f x , y = - 2 x 2 F - 2 x ∂ F ∂ y - ∂ F ∂ x + 2 x ∂ F ∂ y - ∂ F ∂ x + 2 x 2 F = 0

Sim, depois de tanta conta obtivemos

f x , y = 0

Assim, como

∂ 2 G ∂ v 2 = u 1 + v 3   f ( x , y )

Chegamos em

∂ 2 G ∂ v 2 = 0

Resposta

∂ 2 G ∂ v 2 = 0

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