Enunciado

Sejam G (u , v) = (F (x , y))/(x) , u = x + y e v = (y)/(x) . Suponha que (del^2 F)/(del x^2) - 2 (del^2 F)/(del x del y) + (del^2 F)/(del y^2) = 0 . Calcule (del^2 G)/(del v^2) .

Passo 1

A questão fornecer uma função G ( u , v ) , onde u e v são funções de x e y :

u = x + y e v = (y)/(x)

Invertendo essas relações:

y = v x => u = x + v x => x = (u)/(1 + v)

Assim,

y = (v u)/(1 + v)

Devemos calcular a segunda derivada de G com relação a v , para isso precisamos calcular inicialmente a primeira derivada:

(del G)/(del v) = (del)/(del x) ((F (x , y))/(x)) * (del x)/(del v) + (del)/(del y) ((F (x , y))/(x)) * (del y)/(del v)

Note que

(del x)/(del v) = - (u)/((1 + v)^2) e (del y)/(del v) = u ((1 + v - v)/((1 + v)^2)) = (u)/((1 + v)^2)

Assim,

(del G)/(del v) = (u)/((1 + v)^2) * (- (del)/(del x) ((F (x , y))/(x)) + (del)/(del y) ((F (x , y))/(x)))

Por simplicidade, vamos chamar

h (x , y) = - (del)/(del x) ((F (x , y))/(x)) + (del)/(del y) ((F (x , y))/(x))

Assim,

(del G)/(del v) = (u)/((1 + v)^2) h ( x , y )

Passo 2

Agora que temos a primeira derivada, vamos achar a segunda:

(del^2 G)/(del v^2) = (del)/(del v) ((del G)/(del v)) = (del)/(del v) ((u)/((1 + v)^2) h (x , y))

Assim, pela regra do produto:

(del^2 G)/(del v^2) = (del)/(del v) ((u)/((1 + v)^2)) h (x , y) + (u)/((1 + v)^2) (del)/(del v) (h (x , y))

Como

(del)/(del v) ((u)/((1 + v)^2)) = - (2 u)/((1 + v)^3)

Assim,

(del^2 G)/(del v^2) = (u)/((1 + v)^2) (- (2)/(1 + v) h (x , y) + (del)/(del v) (h (x , y)))

Passo 3

Agora vamos focar no termo (del)/(del v) (h (x , y)) :

(del)/(del v) (h (x , y)) = (del h)/(del x) * (del x)/(del y) + (del h)/(del y) * (del y)/(del v) = (u)/((1 + v)^2) (- (del h)/(del x) + (del h)/(del y))

Assim,

(del^2 G)/(del v^2) = (u)/((1 + v)^3) (- 2 h (x , y) + (u)/(1 + v) (- (del)/(del x) (h (x , y)) + (del)/(del y) (h (x , y))))

Observe que podemos deixar as coisas um pouquinho mais simples se lembrarmos que

(u)/(1 + v) = x

Portanto:

(del^2 G)/(del v^2) = (u)/((1 + v)^3) (- 2 h (x , y) + x (- (del)/(del x) (h (x , y)) + (del)/(del y) (h (x , y))))

Só nos resta agora calcular a expressão

f (x , y) = - 2 h (x , y) + x (- (del)/(del x) (h (x , y)) + (del)/(del y) (h (x , y)))

Passo 4

Vamos achar primeiro h :

h (x , y) = - (del)/(del x) ((F (x , y))/(x)) + (del)/(del y) ((F (x , y))/(x))

O primeiro termo sai pela regra do produto:

(del)/(del x) ((F (x , y))/(x)) = (del)/(del x) (x^(- 1) * F (x , y)) = - (1)/(x^2) F + (1)/(x) (del F)/(del x)

Já a o segundo termo é mais simples:

(del)/(del y) ((F (x , y))/(x)) = (1)/(x) (del F)/(del y)

Juntando tudo, obtemos

h (x , y) = (1)/(x^2) F + (1)/(x) ((del F)/(del y) - (del F)/(del x))

Passo 5

Agora vamos procurar as derivadas de h com relação a x e y :

(del h)/(del x) = - (2)/(x^3) F + (1)/(x^2) (del F)/(del x) - (1)/(x^2) ((del F)/(del y) - (del F)/(del x)) + (1)/(x) (del)/(del x) ((del F)/(del y) - (del F)/(del x))

Assim,

(del h)/(del x) = - (2)/(x^3) F + (1)/(x^2) (2 (del F)/(del x) - (del F)/(del y)) + (1)/(x) ((del^2 F)/(del x del y) - (del^2 F)/(del x^2))

Com relação a y :

(del h)/(del y) = (1)/(x^2) (del F)/(del y) + (1)/(x) ((del^2 F)/(del y^2) - (del^2 F)/(del y del x))

Supondo que as derivadas mistas podem ser trocadas:

(del h)/(del y) = (1)/(x^2) (del F)/(del y) + (1)/(x) ((del^2 F)/(del y^2) - (del^2 F)/(del x del y))

Assim, temos que

- (del h)/(del x) + (del h)/(del y) = (1)/(x^2) (del F)/(del y) + (1)/(x) ((del^2 F)/(del y^2) - (del^2 F)/(del x del y)) + (2)/(x^3) F - (1)/(x^2) (2 (del F)/(del x) - (del F)/(del y)) - (1)/(x) ((del^2 F)/(del x del y) - (del^2 F)/(del x^2))

Assim,

- (del h)/(del x) + (del h)/(del y) = (2)/(x^2) ((del F)/(del y) - (del F)/(del x)) + (2)/(x^3) F + (1)/(x) ((del^2 F)/(del x^2) - 2 (del^2 F)/(del x del y) + (del^2 F)/(del y^2))

Mas do enunciado do problema, temos que

(del^2 F)/(del x^2) - 2 (del^2 F)/(del x del y) + (del^2 F)/(del y^2) = 0

Assim, a expressão se simplifica e obtemos

- (del h)/(del x) + (del h)/(del y) = (2)/(x^2) ((del F)/(del y) - (del F)/(del x)) + (2)/(x^3) F

Passo 6

Eu sei que nessa altura você deve ter esquecido o que queremos fazer no problema, mas lembre-se que por enquanto queremos achar:

f (x , y) = - 2 h (x , y) + x (- (del)/(del x) (h (x , y)) + (del)/(del y) (h (x , y)))

Nos passos anteriores achamos

h (x , y) = (1)/(x^2) F + (1)/(x) ((del F)/(del y) - (del F)/(del x))

- (del h)/(del x) + (del h)/(del y) = (2)/(x^2) ((del F)/(del y) - (del F)/(del x)) + (2)/(x^3) F

Substituindo essas duas expressões, achamos f :

f (x , y) = - (2)/(x^2) F - (2)/(x) ((del F)/(del y) - (del F)/(del x)) + (2)/(x) ((del F)/(del y) - (del F)/(del x)) + (2)/(x^2) F = 0

Sim, depois de tanta conta obtivemos

f (x , y) = 0

Assim, como

(del^2 G)/(del v^2) = (u)/((1 + v)^3) f ( x , y )

Chegamos em

(del^2 G)/(del v^2) = 0

Resposta

(del^2 G)/(del v^2) = 0

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Verifique que a mudança de variáveis x = s c o s θ - t s e n ( θ ) , y = s sen ⁡ θ + t c o s ( θ ) com θ constante , transforma a equação ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 ( u = u ( x , y ) ) Em ∂ 2 u ∂ s
Verifique que a mudança de variáveis u = x + y , v = y + 2 x transforma a equação ∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z x , y ∂ y 2 = 0 Em, ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v = 0
a) Ache uma função u ( x , y ) da forma u x , y = F x 2 + y 2 que satisfaça a equação de Laplace ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 b) Faça a mesma coisa para funções de três ou mais variáveis.
Encontre ∂w/∂u e ∂w/∂y quando u = y = 0 se w = ln21 + x2 – tg–1 x e x = 2eu cos y.