Enunciado

Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.

c) f x , y = x 2 + 2 y 2 e 3 x + y   = 1

Passo 1

Perceba que precisamos usar multiplicador de Lagrange, mas precisamos de um superfície para fazer a restrição .Nos foi dada a restrição, 3 x + y = 1 vamos chama-la de g x , y = 3 x + y - 1

Vamos relembrar como funciona o multiplicador de lagrange

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

Passo 2

Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!

∂ f ∂ x x , y = 2 x     ∂ f ∂ y x , y = 4 y  

Logo,

∇ f x , y = 2 x , 4 y

Vamos agora para a função g .  

∂ g ∂ x x , y = 3   ∂ f ∂ y x , y = 1  

Logo,

∇ g x , y = 3,1

Passo 3

Substituindo os dados no sistema

2 x , 4 y = λ 3,1 3 x + y = 1

Podemos reescrever o sistema,

2 x = 3   λ 4 y = λ 3 x + y = 1

Isolando a primeira e a segunda equação

x = 3 2   λ       y = λ 4    

Substituindo na última equação

3 x + y = 1   ⟹

3 ⋅ 3 2 λ + λ 4 = 1   ⟹

λ = 4 19  

Passo 4

Substituindo o valor de lambda em x e y , temos que

x = 3 2 4 19   = 6 19

y = 1 19

Calculando a hessiana, temos que 6 19 ,   1 19 é um ponto de mínimo.

Resposta

6 19 ,   1 19 é um ponto de mínimo.

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