5- Sejam f x ,   y = x 3 x 2 + y 2 ,     x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,       x ,   y = ( 0 ,   0 ) e u = (1, 1)

b)Calcule ∇ f 0,0 × u u .

Passo 1

b)Primeiro, vamos achar as derivadas parciais em 0 ,   0 :

Cara, já logo te adianto logo que vamos ter que calcular as derivadas parciais que nos darão ∇ f 0,0 usando a definição. WHAT??? É isso mesmo.... Mas porque???

Gente, isso acontece porque a função muda de definição no ( 0 ,   0 ) , que é justamente o ponto que o exercício quer. Se fosse em outro pontos nós poderíamos derivar normalmente a primeira expressão, mas fazer o que né ?! Dito isso, vamos logo desenrolar esse treco.

A derivada parcial de f em relação a x no ponto ( x 0 ,   y 0 ) é definida por:

∂ f ∂ x   x 0 ,   y 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 0 + ∆ x , y 0 - f x 0 ,   y 0 ∆ x

Nós temos que:

f x 0 + ∆ x , y 0 = f ∆ x ,   0 = ( ∆ x ) 3 ( ∆ x ) 2

f x 0 ,   y 0 = 0

Substituindo nossos dados na fórmula da definição:

lim ∆ x → 0 ⁡ ( ∆ x ) 3 ( ∆ x ) 2 - 0 ∆ x = l i m ⁡ ∆ x → 0 ( ∆ x ) 3 ( ∆ x ) 3 = 1

Agora, temos que fazer a mesma coisa para acharmos a derivada f em relação y (sim, eu sei que é chato ). Dessa forma,

A derivada parcial de f em relação a x no ponto ( x 0 ,   y 0 ) é definida por:

∂ f ∂ y   x 0 ,   y 0 = lim ∆ y → 0 ⁡ f x 0 , y 0 + ∆ y - f x 0 ,   y 0 ∆ y

Nós temos que:

f x 0 , y 0 + ∆ y = f 0 ,   ∆ y = 0 ( ∆ y ) 2 = 0

f x 0 ,   y 0 = 0

Substituindo nossos dados na fórmula da definição:

lim ∆ y → 0 ⁡ 0 - 0 ∆ y = 0

Assim, nós temos que:

∇ f 0,0 = ( 1 ,   0 )

Nem foi tão sofrido assim, né ?!

Passo 2

Gente, como nosso vetor não é unitário, temos que dividi-lo pela sua norma.

u = 1 2 + 1 2 = 2

Isso nos dá:

u u = 1 2 , 1 2

Por fim,

∇ f 0,0 × u u = 1 ,   0 × 1 2 , 1 2 = 1 2 = 2 2

Resposta

2 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados