Enunciado

8. Encontre a derivada direcional de f x , y , z = x e y 2 - z 2 em P = ( 1,2 , - 2 ) na direção do vetor tangente σ ' t à curva σ t = ( t , 2 cos ⁡ ( t - 1 ) ,   - 2 e t - 1 ) .

Passo 1

Antes de encontrar a derivada direcional de f , precisamos encontrar o vetor tangente σ ' ( t ) que é tangente à σ t = ( t , 2 cos ⁡ ( t - 1 ) ,   - 2 e t - 1 ) e para isso, apenas precisamos derivar σ t .

Derivando temos:

σ t = t , 2 cos ⁡ ( t - 1 ) ,   - 2 e t - 1 → σ ' t = ( 1 , - 2 t s e n   ( t - 1 ) ,   - 2 e t - 1 )

Agora vamos ver o que é a derivada direcional de f na direção de σ ' ( t ) :

∂ f ∂ σ ' P = ∇ f P . σ ' σ ' →

∂ f ∂ σ ' P = e y 2 - z 2 , 2 x y e y 2 - z 2 , - 2 x z e y 2 - z 2 . 1 , - 2 t s e n   ( t - 1 ) ,   - 2 e t - 1 t 1 , - 2 t s e n   ( t - 1 ) ,   - 2 e t - 1

*Lembrando que isso sempre vale quando ∇ f está definido no ponto, como esse é nosso caso não tem problema, mas se não fosse, teríamos de fazer outro processo.

Agora vamos ver para qual valor de t temos o ponto P = ( 1,2 , - 2 ) .

1,2 , - 2 = 1 , - 2 t s e n   ( t - 1 ) ,   - e t - 1 → t = 1

Agora vamos calcular no ponto e depois fazer o produto interno:

∂ f ∂ σ ' P = e 2 2 - ( - 2 ) 2 , 2.1 . 2 e 2 2 - ( - 2 ) 2 , - 2.1 . - 2 . e 2 2 - ( - 2 ) 2 . 1 , - 2.1 . s e n   ( 1 - 1 ) ,   - e 1 - 1 1 , - 2 . s e n   ( 1 - 1 ) ,   - 2 e 1 - 1

∂ f ∂ σ ' P = e 0 , 4 e 0 , 4 e 0 . 1,0 , - 2 5 = 1,4 , 4 . 1 5 , 0 , - 1 5 = 1 5 - 8 5 = - 7 5

Resposta

- 7 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .14. g u ,v = u 2 e - v ,3 ,0 ,v = 3 i + 4 j
11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .16. f x ,y ,z = x y 2 arctan ⁡ z ,2 ,1 ,1 ,v = 1 ,1 ,1
11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .13. g s ,t = s t ,2 ,4 ,v = 2 i - j
11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .15. f x ,y ,z = x 2 y + y 2 z ,1 ,2 ,3 ,v = 2 ,- 1 ,2
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . h r , s ,t = ln ⁡ ( 3 r + 6 s + 9 t ) , 1 ,1 ,1 ,v → = ( 4 ,12 ,6 )