Enunciado

Sejam x = x ( y , z ) , y = y ( x , z ) e z = z x , y definidas implicitamente pela equação F x , y , z = 0 . Suponha x 0 = x ( y 0 , z 0 ) , y 0 = y ( x 0 , z 0 ) , z 0 = z ( x 0 , y 0 ) e que no ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) as derivadas parciais de F sejam diferentes de zero. Mostre que

∂ x ∂ y ⋅ ∂ y ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = - 1     e m     ( x 0 , y 0 , z 0 )

Passo 1

A questão fornece três funções x = x ( y , z ) , y = y ( x , z ) e z = z x , y definidas implicitamente pela equação F x , y , z = 0 e pede para mostrarmos que no ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) vale

∂ x ∂ y ⋅ ∂ y ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = - 1

Para isso vamos usar o teorema da função implícita:

∂ x ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ x

∂ y ∂ z = - ∂ F ∂ z ∂ F ∂ y

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

Passo 2

Assim,

∂ x ∂ y ⋅ ∂ y ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ x ⋅ - ∂ F ∂ z ∂ F ∂ y ⋅ - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z = - 1

Portanto,

∂ x ∂ y ⋅ ∂ y ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = - 1

Resposta

Demonstração.

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