Enunciado

Suponha f ( x ) ≥   0   e intengrável em a , b . A afirmação

" ∫ a b f ( x ) d x = 0   ⟹   f ( x ) = 0   e m   a , b "

é falsa ou verdadeira? Justifique.

Passo 1

O primeiro passo é saber oque foi dito na afirmação.

O símbolo “ ” é um operador lógigo que significa dizer: Se “lado esquerdo” for verdade, então “lado direito” é verdadeiro.

Outra coisa importante de notar é que f ( x ) deve ser, obrigatoriamente, maior ou igual à zero.

Passo 2

Agora vamos retomar o teorema do valor médio para integral,

∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) b - a

podendo ser reescito,

f ( c ) = ∫ a b f ( x ) d x b - a

Também sabe-se que, para o intervalo dado, esse valor de f ( c ) é maior que o mínimo valor de f e menor que o máximo valor de f , isto é,

f m i n ≤ f ( c ) ≤ f m a x

Passo 3

Substituindo oque é dado no enunciado,

f ( c ) = ∫ a b f ( x ) d x b - a = 0 b - a

f ( c ) = 0

E isso implica que,

f m i n ≤ 0 ≤ f m a x

Passo 4

Vamos refletir então!

Para que o f m i n seja menor ou igual que 0 e mesmo assim respeite f ( x ) ≥ 0 , f m i n tem que ser 0 .

Para que o f m a x seja maior ou igual que 0 e mesmo assim respeite ∫ a b f ( x ) d x = 0 e f m i n = 0 , f m a x tem que ser 0 .

Assim, sendo os valores máximo e mínimo de f ( x ) iguais à 0 , f ( x ) tem que ser 0 .

Resposta

A   a f i r m a ç ã o   é   v e r d a d e i r a .

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