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Seja f ( x , y ) diferenciável e homogênea de grau λ no aberto A . Prove:

a) a ∂ f ∂ x a t , b t + b ∂ f ∂ y   a t , b t = λ t λ - 1 f ( a , b ) para todo t > 0 e para todo a , b ∈ A , como a t , b t ∈ A .

b) (Relação de Euler) Conclua de (a) que

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = λ f

Passo 1

A questão diz que f é uma função homogênea de grau λ e pede para provarmos uma relação. Para isso, você tem que lembrar que uma função homogênea satisfaz:

f a t , b t = t λ   f ( a , b )

Derivando essa equação com relação t , temos que

∂ f ∂ x ( a , b ) ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ( a , b ) ⋅ d y d t = λ t λ - 1   f ( a , b )

Como x = a t e y = b t , temos que

d x d t = a             e           d y d t = b

Assim, provamos que

a ∂ f ∂ x a t , b t + b ∂ f ∂ y   a t , b t = λ t λ - 1 f ( a , b )

Passo 2

No item (b) nós precisamos mostrar a relação de Euler. Para isso, vamos fazer a t = x e b t = y . Assim, do item anterior:

x t ∂ f ∂ x x , y + y t ∂ f ∂ y x , y = λ t λ - 1 f x t , y t

Assim,

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = λ t λ   f x t , y t

Por outro lado, como f é homogênea:

f x t , y t = f t - 1 x , t - 1 y = t - λ   f x , y

Logo,

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = λ t λ ⋅ t - λ   f x , y = λ   f x , y

Portanto,

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = λ f

Resposta

Demonstração.

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