Enunciado

Sejam f e g definidas em R , com g contínua em 0 , e tais que, para todo x , f x = x   g x . Mostre que f é derivável em 0 .

Passo 1

Usando a definição de derivada, tentamos calcular f ' 0 :

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f ( 0 ) x - 0

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ x   g x - 0   g 0 x

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ x   g x - 0 x

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ g x

Como g é contínua em 0 , temos que existe lim x → 0 ⁡ g x , sendo igual a g 0 . Portanto, a derivada f ' 0 existe, sendo:

f ' 0 = g 0

Logo, f é derivável em 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

24. Dada f x = 8 - x . (a) Prove que f é contínua à esquerda de 8. (b) Prove que f ´ - 8 não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (a)
25. Dada f x = s g nx . (a) Prove que f ´ + 0ef ´ - 0 não existem. (b) Prove que lim x → 0 + ⁡ f ´ ( x ) = 0elim x → 0 - ⁡ f ´ ( x ) = 0 . (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra ( b )
25. Dada f x = s g nx . (a) Prove que f ´ + 0ef ´ - 0 não existem. (b) Prove que lim x → 0 + ⁡ f ´ ( x ) = 0elim x → 0 - ⁡ f ´ ( x ) = 0 . (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra ( a )
23. Dada f x = x 2 - 9 . (a) Prove que f é contínua em - ∞ , - 3e3 , + ∞ . (b) Prove que nem f ´ - - 3 nem f ´ + ( 3 ) existem. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (c)
23. Dada f x = x 2 - 9 . (a) Prove que f é contínua em - ∞ , - 3e3 , + ∞ . (b) Prove que nem f ´ - - 3 nem f ´ + ( 3 ) existem. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (b)