Enunciado

Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique.

  1. lim x → 0 ⁡ x 3 g x
  2. lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular os limites, sabendo que para todo x , temos g x 4 + f x 4 = 4 .

Como g x 4 + f x 4 = 4 , então podemos supor que:

f x 4 ≥ 0 → g x 4 ≤ 4

0 ≤ g x 4 ≤ 4

Vamos tirar a raíz quarta de todos os elementos da inequação:

0 4 ≤ g x 4 4 ≤ 4 4

→ 0 ≤ g x ≤ 4 4

A partir disso, vamos analisar os limites. Vamos lá!

Passo 2

Na letra, temos:

lim x → 0 ⁡ x 3 g x

Colocando o limite do produto como o produto dos limites, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ x 3 ∙ lim x → 0 ⁡ g x

Agora vamos ver os dois limites de forma separada.

Temos que:

lim x → 0 ⁡ x 3 = 0 3 = 0

E como g x é limitada entre os valores 0 e 4 4 , o teorema do anulamento (que é um corolário do teorema do confronto) nos permite dizer que:

lim x → 0 ⁡ x 3 ∙ lim x → 0 ⁡ g x = lim x → 0 ⁡ x 3 g x = 0

Passo 3

Na letra b), vamos fazer de forma semelhante ao item anterior. Temos que, como g x 4 + f x 4 = 4 , então podemos supor que:

g x 4 ≥ 0 → f x 4 ≤ 4

→ 0 ≤ f x 4 ≤ 4

Tirando a raíz quarta de todos os elementos da inequação:

0 4 ≤ f x 4 4 ≤ 4 4

→ 0 ≤ f x ≤ 4 4

Agora vamos analisar o limite que queremos:

lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3 = lim x → 3 ⁡ f x ∙ lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 3

Vamos ver os dois limites de forma separada.

Passo 4

Temos que:

lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 3

Como não temos nenhuma restrição na função, podemos apenas substituir o valor do limite:

= 3 2 - 9 3

= 9 - 9 3 = 0

E como f x é limitada entre os valores 0 e 4 4 , vamos ter (também pelo teorema do anulamento):

lim x → 3 ⁡ f x ∙ lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 3 = lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. lim x → 0 ⁡ x 3 g x = 0
  2. lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3 = 0
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Demonstre que l i m x → 0x 4 . cos ⁡ 2 x = 0 .
Demonstre que l i m x → 0 +x ∙ e sen ⁡ π x = 0 .
Suponha que para todo x , g x ≤ x 4 . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .
Calcule, caso existe, lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 em que f é dada por f x = x sen ⁡ 1 x s e x ≠ 0 0 s e x = 0