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Enunciado

Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique.

  1. lim x → 0 ⁡ x 3 g x
  2. lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3

Passo 1

  1. Aqui temos que, como g x 4 + f x 4 = 4 , então podemos supor que:
  2. f x 4 ≥ 0 → g x 4 ≤ 4 → 0 ≤ g x 4 ≤ 4

    Vamos tirar a raíz quarta de todos os elementos da inequação:

    0 ≤ g x 4 ≤ 4 → 0 4 ≤ g x 4 4 ≤ 4 4 → 0 ≤ g x ≤ 4 4

    Agora vamos analisar o limite que queremos:

    lim x → 0 ⁡ x 3 g x = lim x → 0 ⁡ x 3 ∙ lim x → 0 ⁡ g x

    Vamos ver os dois limites de forma separada.

    Passo 2

    Temos que:

    lim x → 0 ⁡ x 3 = 0 3 = 0

    E como g x é limitada entre os valores 0 e 4 4 , o limite:

    lim x → 0 ⁡ x 3 ∙ lim x → 0 ⁡ g x = lim x → 0 ⁡ x 3 g x = 0

    Passo 3

  3. Aqui vamos fazer de forma semelhante a letra a), temos que, como g x 4 + f x 4 = 4 , então podemos supor que:

g x 4 ≥ 0 → f x 4 ≤ 4 → 0 ≤ f x 4 ≤ 4

Vamos tirar a raíz quarta de todos os elementos da inequação:

0 ≤ f x 4 ≤ 4 → 0 4 ≤ f x 4 4 ≤ 4 4 → 0 ≤ f x ≤ 4 4

Agora vamos analisar o limite que queremos:

lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3 = lim x → 3 ⁡ f x ∙ lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 3

Vamos ver os dois limites de forma separada.

Passo 2

Temos que:

lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 3 = 3 2 - 9 3 = 9 - 9 3 = 0 3 = 0

E como f x é limitada entre os valores 0 e 4 4 , o limite:

lim x → 3 ⁡ f x ∙ lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 3 = lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3 = 0

Resposta

  1. lim x → 0 ⁡ x 3 g x = 0
  2. lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3 = 0
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