Enunciado

Demonstre que l i m x → 0 +   x ∙ e sen ⁡ π x = 0 .

Passo 1

Faaaala galerinhaaa, como vocês estão? Animadíssimos? Então booooraa!!

Seguinte... queremos demonstrar a seguinte igualdade:

l i m x → 0 +   x ∙ e sen ⁡ π x = 0

Como o primeiro passo de todo limite é substituir e ver no que dá, temos:

l i m x → 0 +   x ∙ e sen ⁡   π x = l i m x → 0 +   x ∙ l i m x → 0 +   e sen ⁡   π x

l i m x → 0 +   x ∙ e sen ⁡ π x = 0 + ∙ e l i m x → 0 +   sen ⁡   π x

l i m x → 0 +   x ∙ e sen ⁡ π x = 0 + ∙ e sen ⁡   π 0 +

l i m x → 0 +   x ∙ e sen ⁡ π x = 0 + ∙ e sen ⁡   ∞

Mas perai gente, sen ⁡   ∞ existe? A função é oscilatória!

Então não tem como tender pra nada no infinito, nem mesmo algum dos infinitos.

Como esse limite não dá pra calcular, vamos ter que tentar alguma outra estratégia! Bora pensar!

Passo 2

Vamos começar analisando a função seno, ok? E sabemos que ela é limitada superiormente por 1 , e inferiormente, - 1 , não é?

Importantíssimo: Isso independe da expressão dentro do seno!

Em inequação:

- 1 ≤ sen ⁡ π x ≤ 1

Até aqui tudo muito tranquilo, mas não é isso que queremos, nós precisamos saber os intervalos de x ∙ e sen ⁡   π x .

Então o que fazemos? Pra começar, olha o macete, imagina que eu tenha:

1 < 2

Ok, mas e dai? Bem, se esses números forem expoentes de 3 , por exemplo, vai ser válido também:

3 1 < 3 2

3 < 9

Portanto podemos fazer a mesma coisa, só que aplicando o exponencial dessa vez, ficando assim com a cara da nossa função!!! Vamos ter

]

- 1 ≤ sen ⁡ π x ≤ 1 ∴

e - 1 ≤ e sen ⁡   π x ��� e 1 ∴

1 e ≤ e sen ⁡ π x ≤ e

E multiplicando dos dois lados por x :

x e ≤ x ∙ e sen ⁡ π x ≤ x ∙ e

Passo 3

Tá na mão! Nossa função apareceu! Podemos, pelo Teorema do Confronto, afirmar que:

l i m x → 0 +   x e ≤ l i m x → 0 +   x ∙ e sen ⁡ π x ≤ l i m x → 0 +   x ∙ e

O teorema do confronto diz que:

Sejam f x ,   g x e   h ( x ) , funções reais definidas no dominio D   ∈ R e seja a um ponto dentro desse dominio, se:

g x �� f x ≤ h ( x )

E

lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ h x = L

Então

lim x → a ⁡ h x = L

Passo 4

Vamos analisar os limites inferior e superior então

l i m x → 0 +   x e = 0

l i m x → 0 +   x ∙ e = 0

Ou seja, quanto mais próximo o x está de zero, mais próximo x está de zero e, consequentemente, mais próximo tanto a função x e quanto a função x ∙ e estarão de zero!

Completamos nossa inequação então da seguinte forma:

l i m x → 0 +   x e ≤ l i m x → 0 +   x ∙ e sen ⁡ π x ≤ l i m x → 0 +   x ∙ e

0 ≤ l i m x → 0 +   x ∙ e sen ⁡ π x ≤ 0

Oras, se um número está entre 0 e 0 , então ele é igual a zero!

l i m x → 0 +   x ∙ e sen ⁡ π x = 0

E comprovamos o que queríamos, não é? Feshow

Passo 5

Só pra gente conseguir ver graficamente, olha como fica o teorema do confronto pras três funções da inequação:

Resposta

Por Teorema do Confronto, é possível provar que l i m x → 0 +   x ∙ e sen ⁡ π x = 0

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