Calcule, caso existe, lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 em que f é dada por

f x = x sen ⁡ 1 x     s e     x ≠ 0 0     s e     x = 0

Passo 1

Temos que ver se os limite laterais são iguais, caso sejam, o limite existe e possui aquele valor:

Se

lim x → 0 ⁺ ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁻ ⁡ f x - f 0 x - 0 = L

Então

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = L

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar analisando o limite:

lim x → 0 ⁺ ⁡ f x - f 0 x - 0

Temos aqui na expressão do limite que como ele quer x tendendo a 0 pela direita, vamos pegar a condição e substituir no limite:

f x = x sen ⁡ 1 x

f 0 = 0

lim x → 0 ⁺ ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁺ ⁡ x sen ⁡ 1 x - 0 x - 0 = lim x → 0 ⁺ ⁡ x sen ⁡ 1 x x = lim x → 0 ⁺ ⁡ sen ⁡ 1 x

Passo 3

Para calcular esse limite vamos dar uma olhada na definição precisa de limite, temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que

se a - δ < x < a + δ então L - ε < f x < L + ε

Temos que para todo δ > 0 existe um natural k tal que:

1 k π < δ e 2 2 k + 1 π < δ

Temos também que:

sen ⁡ 1 x = 0 para x = 1 k π

sen ⁡ 1 x = 1 para x = 2 2 k + 1 π

Então para todo L é falsa a afirmação de que existe δ > 0 tal que:

para todo x , 0 < x < δ → L - 1 4 < sen ⁡ 1 x < L + 1 4

Assim, lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x não existe.

Resposta

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 não existe.

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