Enunciado

Aplique a regra de Simpson para a integral definida ∫ a b f x d x , onde f x é um polinômio de terceiro grau, para provar a fórmula prismoidal

∫ a b f x d x = b - a 6 f a + 4 f a + b 2 + f b

Passo 1

Vamos começar lembrando o que a regra de Simpson fala sobre a integral.

S = ∫ a b f x d x = b - a 3 n f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Observando a formula prismoidal, vemos que lá tem 3 termos. Dessa forma, devemos pegar n = 2 . Isso porque termiamos:

x 0 , x 1 , x 2

Colocando n = 2 na fómula da regra de Simpson:

∫ a b f x d x = b - a 6 f x 0 + 4 f x 1 + f x 2

Passo 2

Falta acharmos os x 0 , x 1 , x 2 ali. Como vamos fazer isso?

Devemos lembrar que o primeiro termo é o primeiro valor do intervalo e o último é o ultimo termo do intervalo.

Então:

x 0 = a

x 2 = b

E vamos ter:

x 1 = x 0 + Δ x

Onde

Δ x = b - a n

Como pegamos n = 2 , vamos ter:

Δ x = b - a 2

E

x 1 = a + b - a 2 = 2 a + b - a 2 = a + b 2

Jogando tudo isso na regra de Simpson:

∫ a b f x d x = b - a 6 f a + 4 f a + b 2 + f b

Que é a fómula que ele queria mostrar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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No exercício abaixo, ache um intervalo em que se situa o erro de truncamento na aproximação do exercício 4, em que a integral é dada por: ∫ 0 π s e n x d x ; n=6
No exercício abaixo, ache um intervalo em que se situa o erro de truncamento na aproximação do exercício 5, em que a integral é dada por: ∫ 1 2d x x ; n=5
No exercício abaixo, ache um intervalo em que se situa o erro de truncamento na aproximação do exercício 3, em que a integral é dada por: ∫ 0 π c o s x d x ; n=4
Aproxime ∫ 0 2 x 3 d x com três casas decimais pela regra de Simpson, com n = 4. Compare o resultado com aquele obtido no exercício 1, e observe que a regra de Simpson leva a resultados mais precisos
No exercício abaixo, ache um intervalo em que se situa o erro de truncamento na aproximação do exercício 6, em que a integral é dada por: ∫ 2 10d x 1 + x ; n=8